Номер 358, страница 52, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетическая теория газа - номер 358, страница 52.

Условие.

358. [292] Молекулярный пучок азота летит перпендикулярно стенке и ударяется о неё. После соударения молекулы отскакивают от стенки с той же по модулю скоростью. Определите давление пучка на стенку, если скорость молекул $3000 \text{ м/с}$, а их концентрация $1,3 \cdot 10^{20} \text{ м}^{-3}$.

Решение.

Дано:

Скорость молекул азота, $v = 3000$ м/с

Концентрация молекул, $n = 1,3 \cdot 10^{20}$ м^-3

Молярная масса азота ($N_2$), $M = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль^-1

Найти:

Давление пучка на стенку, $\text{P}$

Решение:

Давление $\text{P}$ определяется как сила $\text{F}$, действующая на единицу площади $\text{S}$:

$P = \frac{F}{S}$

Сила, действующая на стенку, равна полному изменению импульса молекул, ударяющихся о стенку, за единицу времени. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме:

$F = \frac{\Delta p_{total}}{\Delta t}$

По условию, молекулы летят перпендикулярно стенке и отскакивают с той же по модулю скоростью (упругое соударение). Изменение импульса одной молекулы массы $m_0$ при столкновении со стенкой равно:

$\Delta p_1 = p_{конечный} - p_{начальный} = m_0(-v) - m_0v = -2m_0v$

Согласно третьему закону Ньютона, импульс, переданный стенке одной молекулой, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса молекулы, то есть $2m_0v$.

За время $\Delta t$ до стенки долетят все молекулы, находящиеся в объеме цилиндра с площадью основания $\text{S}$ и высотой $L = v \Delta t$. Количество молекул $\text{N}$ в этом объеме равно:

$N = n \cdot V = n \cdot S \cdot L = n S v \Delta t$

Суммарный импульс, переданный стенке всеми этими молекулами за время $\Delta t$, составляет:

$\Delta p_{total} = N \cdot (2m_0v) = (n S v \Delta t) \cdot (2m_0v) = 2 n m_0 v^2 S \Delta t$

Тогда сила, с которой пучок действует на стенку:

$F = \frac{\Delta p_{total}}{\Delta t} = \frac{2 n m_0 v^2 S \Delta t}{\Delta t} = 2 n m_0 v^2 S$

Давление пучка на стенку равно:

$P = \frac{F}{S} = \frac{2 n m_0 v^2 S}{S} = 2 n m_0 v^2$

Массу одной молекулы азота ($N_2$) найдем, разделив молярную массу $\text{M}$ на число Авогадро $N_A$:

$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4,65 \cdot 10^{-26}$ кг

Подставим числовые значения в формулу для давления:

$P = 2 \cdot (1,3 \cdot 10^{20} \text{ м}^{-3}) \cdot (4,65 \cdot 10^{-26} \text{ кг}) \cdot (3000 \text{ м/с})^2$

$P = 2 \cdot 1,3 \cdot 10^{20} \cdot 4,65 \cdot 10^{-26} \cdot 9 \cdot 10^6 \text{ Па}$

$P = (2 \cdot 1,3 \cdot 4,65 \cdot 9) \cdot 10^{20 - 26 + 6} \text{ Па}$

$P = 108,81 \cdot 10^0 \text{ Па} \approx 109$ Па

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры в концентрации), округлим результат.

$P \approx 110$ Па

Ответ: давление пучка на стенку составляет приблизительно $110$ Па.