Номер 359, страница 52, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетическая теория газа - номер 359, страница 52.

Условие.

359. [293] На пути молекулярного пучка находится стенка.Скорость молекул $10^3 \text{ м/с}$, их концентрация в пучке $5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$, а масса одной молекулы $3,3 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.Определите давление, испытываемое при этом стенкой, если:

1) она неподвижна;

2) движется навстречу молекулярному пучку со скоростью 50 м/с.

Решение.

Дано:

Скорость молекул $v_м = 10^3$ м/с
Концентрация молекул в пучке $n = 5 \cdot 10^{25}$ м⁻³
Масса одной молекулы $m_0 = 3,3 \cdot 10^{-27}$ кг
Скорость стенки (случай 2) $u = 50$ м/с

Найти:

$P_1$ — давление на неподвижную стенку
$P_2$ — давление на движущуюся стенку

Решение:

Давление, оказываемое молекулярным пучком на стенку, равно силе, действующей на единицу площади. Сила, в свою очередь, равна полному импульсу, передаваемому стенке всеми столкнувшимися с ней молекулами за единицу времени. Будем считать столкновения молекул со стенкой абсолютно упругими.

1) она неподвижна

Рассмотрим площадку $\text{S}$ на поверхности стенки. За время $\Delta t$ до стенки долетят все молекулы, находящиеся в объеме цилиндра с основанием $\text{S}$ и высотой $L = v_м \Delta t$. Число этих молекул $\text{N}$ равно произведению концентрации на объем: $N = n \cdot V = n S v_м \Delta t$.

При абсолютно упругом ударе о неподвижную стенку, перпендикулярную вектору скорости, скорость молекулы меняет направление на противоположное, а ее модуль остается прежним. Импульс, передаваемый стенке одной молекулой, равен изменению импульса самой молекулы, взятому с обратным знаком: $\Delta p_0 = m_0 v_м - (-m_0 v_м) = 2m_0v_м$.

Суммарный импульс, переданный стенке всеми $\text{N}$ молекулами за время $\Delta t$, равен $\Delta p = N \cdot \Delta p_0 = (n S v_м \Delta t) \cdot (2m_0v_м) = 2 n m_0 v_м^2 S \Delta t$.

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила, действующая на стенку, равна $F_1 = \frac{\Delta p}{\Delta t} = 2 n m_0 v_м^2 S$.

Давление на стенку определяется по формуле $P_1 = \frac{F_1}{S} = 2 n m_0 v_м^2$.

Выполним расчет:

$P_1 = 2 \cdot 5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 3,3 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot (10^3 \text{ м/с})^2 = 10 \cdot 10^{25} \cdot 3,3 \cdot 10^{-27} \cdot 10^6 = 3,3 \cdot 10^{5}$ Па.

Ответ: $3,3 \cdot 10^5$ Па.

2) движется навстречу молекулярному пучку со скоростью 50 м/с

Когда стенка движется навстречу пучку со скоростью $\text{u}$, относительная скорость сближения молекул и стенки равна $v_{отн} = v_м + u$.

Число молекул, сталкивающихся с площадкой $\text{S}$ за время $\Delta t$, определяется этой относительной скоростью: $N' = n S v_{отн} \Delta t = n S (v_м + u) \Delta t$. Соответственно, число столкновений в единицу времени равно $\frac{N'}{\Delta t} = n S (v_м + u)$.

Для определения импульса, передаваемого стенке при одном столкновении, найдем скорость молекулы после удара. При упругом столкновении с массивной движущейся стенкой скорость молекулы после отскока (в лабораторной системе отсчета) равна $v'_{м} = v_м + 2u_{ст}$, где $u_{ст}$ — скорость стенки. В нашем случае стенка движется навстречу, поэтому ее скорость можно считать отрицательной ($u_{ст} = -u$), но формула для отскока от встречной стенки имеет вид $v'_{м} = -(v_м + 2u)$. Скорость молекулы до удара $v_м$, после удара $v'_{м} = -(v_м + 2u)$. Изменение импульса молекулы: $\Delta p_м = m_0 v'_{м} - m_0 v_м = m_0(-v_м - 2u) - m_0v_м = -2m_0(v_м + u)$. Импульс, переданный стенке одной молекулой, равен по модулю $\Delta p'_0 = 2m_0(v_м + u)$.

Сила, действующая на стенку, равна произведению числа столкновений в секунду на импульс, передаваемый при каждом столкновении:

$F_2 = \frac{N'}{\Delta t} \cdot \Delta p'_0 = (n S (v_м + u)) \cdot (2m_0(v_м + u)) = 2 n m_0 S (v_м + u)^2$.

Давление на движущуюся стенку: $P_2 = \frac{F_2}{S} = 2 n m_0 (v_м + u)^2$.

Выполним расчет:

$P_2 = 2 \cdot 5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 3,3 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot (10^3 \text{ м/с} + 50 \text{ м/с})^2 = 3,3 \cdot 10^{-1} \cdot (1050 \text{ м/с})^2$

$P_2 = 0,33 \cdot 1102500 \approx 363825$ Па.

Округлим результат: $P_2 \approx 3,64 \cdot 10^5$ Па.

Ответ: $3,64 \cdot 10^5$ Па.