Номер 361, страница 52, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетическая теория газа - номер 361, страница 52.

Условие.

361. [295] С какой скоростью увеличивается толщина слоя серебра на неподвижной пластинке при напылении, если атомы серебра, обладая энергией $10^{-17}$ Дж, оказывают на пластинку давление 0,1 Па?

Решение.

Дано:

Энергия атома серебра, $E_k = 10^{-17}$ Дж

Давление атомов на пластинку, $P = 0,1$ Па

Плотность серебра (справочное значение), $\rho_{Ag} \approx 10500$ кг/м³

Молярная масса серебра (справочное значение), $M_{Ag} \approx 0,10787$ кг/моль

Число Авогадро (постоянная), $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Найти:

Скорость увеличения толщины слоя серебра, $v_h$

Решение:

Процесс напыления представляет собой направленный поток атомов, которые осаждаются на поверхности. Будем считать, что атомы движутся перпендикулярно пластинке. Давление $\text{P}$, оказываемое таким потоком, связано с концентрацией атомов в потоке $\text{n}$, массой одного атома $m_0$ и их скоростью $\text{v}$.

Давление определяется как сила, действующая на единицу площади: $P = F/S$. Сила, в свою очередь, равна изменению импульса в единицу времени: $F = \Delta p / \Delta t$. При осаждении на пластинку (неупругий удар) изменение импульса одного атома равно $\Delta p_1 = m_0 v$. За время $\Delta t$ на площадь $\text{S}$ падает $N = n \cdot v \cdot S \cdot \Delta t$ атомов. Суммарное изменение импульса всех атомов составляет $\Delta p = N \cdot \Delta p_1 = (n v S \Delta t) \cdot (m_0 v) = n m_0 v^2 S \Delta t$. Тогда сила $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = n m_0 v^2 S$, а давление: $P = \frac{F}{S} = n m_0 v^2$.

Кинетическая энергия одного атома серебра задана и равна: $E_k = \frac{1}{2} m_0 v^2$.

Теперь рассмотрим скорость увеличения толщины слоя $v_h = \frac{\Delta h}{\Delta t}$. За время $\Delta t$ на площади $\text{S}$ оседает слой серебра объемом $\Delta V = S \cdot \Delta h$ и массой $\Delta m = \rh°\cdot \Delta V = \rh°S \Delta h$. Эта масса также равна массе всех осевших атомов: $\Delta m = N \cdot m_0 = (n v S \Delta t) m_0$.

Приравнивая два выражения для массы $\Delta m$, получаем: $\rh°S \Delta h = n v S \Delta t m_0$. Сократив $\text{S}$ и разделив на $\Delta t$, находим искомую скорость роста толщины слоя: $v_h = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{n v m_0}{\rho}$.

Чтобы выразить $v_h$ через известные величины, воспользуемся ранее полученной формулой для давления $P = n m_0 v^2$. Из нее следует, что $n m_0 v = P/v$. Подставим это в выражение для $v_h$: $v_h = \frac{P/v}{\rho} = \frac{P}{\rh°v}$.

Скорость атомов $\text{v}$ можно найти из формулы для кинетической энергии: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_0}}$.

Массу одного атома серебра $m_0$ вычислим, используя молярную массу $M_{Ag}$ и число Авогадро $N_A$: $m_0 = \frac{M_{Ag}}{N_A}$.

Подставим выражение для $\text{v}$ в формулу для $v_h$: $v_h = \frac{P}{\rh°\sqrt{\frac{2E_k}{m_0}}} = \frac{P}{\rho} \sqrt{\frac{m_0}{2E_k}}$.

Теперь произведем численные расчеты. Сначала найдем массу одного атома серебра: $m_0 = \frac{0,10787 \text{ кг/моль}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 1,791 \cdot 10^{-25}$ кг.

Далее вычислим скорость атомов: $v = \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}}{1,791 \cdot 10^{-25} \text{ кг}}} \approx \sqrt{1,117 \cdot 10^8 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 1,057 \cdot 10^4$ м/с.

Наконец, рассчитаем скорость увеличения толщины слоя: $v_h = \frac{0,1 \text{ Па}}{10500 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,057 \cdot 10^4 \text{ м/с}} \approx \frac{0,1}{1,11 \cdot 10^8} \text{ м/с} \approx 9,0 \cdot 10^{-10}$ м/с.

Ответ: скорость увеличения толщины слоя серебра составляет примерно $9,0 \cdot 10^{-10}$ м/с (или 0,9 нм/с).