Номер 360, страница 52, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетическая теория газа - номер 360, страница 52.

Условие.

360. [294] Спутник с площадью сечения $1 \text{ м}^2$ движется по околоземной орбите на высоте 200 км. Определите число соударений молекул воздуха со спутником за 1 с. Атмосферное давление на этой высоте $1,37 \cdot 10^4 \text{ Па}$, а температура 1226 К.

Решение.

Дано:

Площадь сечения спутника $S = 1 \text{ м}^2$

Высота орбиты $h = 200 \text{ км}$

Время $\Delta t = 1 \text{ с}$

Атмосферное давление $P = 1,37 \cdot 10^4 \text{ Па}$

Температура $T = 1226 \text{ К}$

Система СИ:

$h = 200 \text{ км} = 200 \cdot 10^3 \text{ м} = 2 \cdot 10^5 \text{ м}$

Найти:

Число соударений молекул со спутником за 1 с - $\text{N}$

Решение:

Число соударений $\text{N}$ молекул воздуха с поверхностью спутника за время $\Delta t$ можно определить, зная концентрацию молекул $\text{n}$ и скорость спутника $v_с$. Так как спутник движется с большой орбитальной скоростью, которая значительно превышает среднюю тепловую скорость молекул воздуха, можно применить модель, в которой спутник "собирает" все молекулы, находящиеся в объеме, который он "вырезает" в пространстве за время $\Delta t$.

Этот объем равен $V = S \cdot l$, где $l = v_с \cdot \Delta t$ - путь, пройденный спутником.

Таким образом, число столкновений за время $\Delta t$ равно:

$N = n \cdot V = n \cdot S \cdot v_с \cdot \Delta t$

Поскольку нас интересует число соударений за 1 секунду ($\Delta t = 1 \text{ с}$), формула принимает вид:

$N = n \cdot S \cdot v_с$

Для решения задачи необходимо найти концентрацию молекул $\text{n}$ и орбитальную скорость спутника $v_с$.

1. Найдем концентрацию молекул воздуха $\text{n}$ на данной высоте, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона в форме для концентрации):

$P = nkT$

где $\text{k}$ - постоянная Больцмана ($k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$).

Выразим концентрацию:

$n = \frac{P}{kT}$

Подставим числовые значения:

$n = \frac{1,37 \cdot 10^4 \text{ Па}}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 1226 \text{ К}} \approx \frac{1,37 \cdot 10^4}{1,692 \cdot 10^{-20}} \approx 8,1 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}$

2. Определим первую космическую (орбитальную) скорость спутника $v_с$ на высоте $\text{h}$. Для круговой орбиты она вычисляется по формуле:

$v_с = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З + h}}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная ($G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$), $M_З$ - масса Земли ($M_З \approx 5,972 \cdot 10^{24} \text{ кг}$), $R_З$ - средний радиус Земли ($R_З \approx 6,371 \cdot 10^6 \text{ м}$).

Подставим значения:

$v_с = \sqrt{\frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 5,972 \cdot 10^{24}}{6,371 \cdot 10^6 + 0,2 \cdot 10^6}} = \sqrt{\frac{3,986 \cdot 10^{14}}{6,571 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{6,066 \cdot 10^7} \approx 7788 \text{ м/с}$

Сравним скорость спутника со средней тепловой скоростью молекул воздуха $\bar{v}$ при данной температуре, чтобы убедиться в справедливости нашей модели. Средняя молярная масса воздуха $M \approx 0,029$ кг/моль. Масса одной молекулы $m_0 = M/N_A \approx 4,8 \cdot 10^{-26}$ кг. Средняя арифметическая скорость $\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}} \approx \sqrt{\frac{8 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 1226}{\pi \cdot 4,8 \cdot 10^{-26}}} \approx 950 \text{ м/с}$. Так как $v_с (7788 \text{ м/с}) \gg \bar{v} (950 \text{ м/с})$, наше приближение справедливо.

3. Теперь можем рассчитать искомое число соударений $\text{N}$ за 1 секунду:

$N = n \cdot S \cdot v_с = (8,1 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}) \cdot (1 \text{ м}^2) \cdot (7788 \text{ м/с}) \approx 6,31 \cdot 10^{27}$

Ответ: число соударений молекул воздуха со спутником за 1 с составляет примерно $6,3 \cdot 10^{27}$.