Номер 391, страница 55, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 391, страница 55.

Условие.

391. [325] Сосуд, содержащий гелий массой $m = 1 \text{ г}$, разрывается при температуре $t = 400 \text{ °C}$. Определите максимальную массу азота, который можно хранить в таком сосуде при температуре $t_1 = 30 \text{ °C}$, если при этом необходимо иметь пятикратный запас прочности.

Решение.

Дано:

Масса гелия, $m_{He} = 1$ г
Температура разрыва сосуда с гелием, $t_{He} = 400$ °C
Температура хранения азота, $t_{N_2} = 30$ °C
Коэффициент запаса прочности, $k = 5$
Молярная масса гелия (He), $M_{He} \approx 4$ г/моль
Молярная масса азота ($N_2$), $M_{N_2} \approx 28$ г/моль

$m_{He} = 1 \cdot 10^{-3}$ кг
$T_{He} = 400 + 273 = 673$ К
$T_{N_2} = 30 + 273 = 303$ К
$M_{He} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Максимальную массу азота $m_{N_2}$.

Решение:

Сосуд разрывается, когда давление газа внутри достигает некоторого максимального значения $P_{max}$. Это значение является характеристикой прочности сосуда и не зависит от типа газа. Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона), мы можем определить это давление для гелия при температуре разрыва.

$P_{max}V = \nu_{He}RT_{He}$

Здесь $\text{V}$ – объем сосуда, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, а $\nu_{He}$ – количество вещества гелия, которое равно отношению массы гелия $m_{He}$ к его молярной массе $M_{He}$.

$P_{max}V = \frac{m_{He}}{M_{He}}RT_{He}$ (1)

При хранении азота требуется пятикратный запас прочности, это означает, что максимальное рабочее давление для азота $P_{N_2}$ должно быть в 5 раз меньше давления разрыва:

$P_{N_2} = \frac{P_{max}}{k}$

Запишем уравнение состояния для максимальной массы азота $m_{N_2}$, который можно хранить при температуре $T_{N_2}$ и рабочем давлении $P_{N_2}$:

$P_{N_2}V = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}RT_{N_2}$

Подставим в это уравнение выражение для $P_{N_2}$:

$\frac{P_{max}}{k}V = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}RT_{N_2}$

Выразим отсюда произведение $P_{max}V$:

$P_{max}V = k \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}RT_{N_2}$ (2)

Так как левые части уравнений (1) и (2) одинаковы (произведение $P_{max}V$), мы можем приравнять их правые части:

$\frac{m_{He}}{M_{He}}RT_{He} = k \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}RT_{N_2}$

Сокращаем универсальную газовую постоянную $\text{R}$ и выражаем искомую массу азота $m_{N_2}$:

$m_{N_2} = \frac{m_{He} \cdot T_{He} \cdot M_{N_2}}{k \cdot T_{N_2} \cdot M_{He}}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно оставить массу в граммах и молярную массу в г/моль, тогда результат также получится в граммах.

$m_{N_2} = \frac{1 \text{ г} \cdot 673 \text{ К} \cdot 28 \text{ г/моль}}{5 \cdot 303 \text{ К} \cdot 4 \text{ г/моль}} = \frac{18844}{6060} \text{ г} \approx 3,11 \text{ г}$

Ответ: максимальная масса азота, который можно хранить в таком сосуде, составляет примерно 3,11 г.