Номер 393, страница 56, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 393, страница 56.

Условие.

393. [327] В баллоне содержался гелий массой $m = 0,3$ кг. За время хранения абсолютная температура в баллоне уменьшилась на 10 %, а давление упало на 20 %. Сколько молекул гелия вышло из баллона?

Решение.

Дано:

$m_1 = 0,3$ кг
$T_2 = T_1 - 0,1 T_1 = 0,9 T_1$
$p_2 = p_1 - 0,2 p_1 = 0,8 p_1$
Гелий (He)

Перевод в СИ:
Молярная масса гелия $M = 4$ г/моль $= 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.
Постоянная Авогадро $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$.

Найти:

$ΔN$ - число молекул гелия, вышедших из баллона.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний гелия в баллоне. Объем баллона $\text{V}$ остается постоянным.

Начальное состояние (1):
$p_1V = \frac{m_1}{M}RT_1$

Конечное состояние (2):
$p_2V = \frac{m_2}{M}RT_2$

где $p_1, T_1, m_1$ — начальные давление, температура и масса газа; $p_2, T_2, m_2$ — конечные давление, температура и масса газа; $\text{V}$ — объем баллона; $\text{M}$ — молярная масса гелия; $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{p_2V}{p_1V} = \frac{\frac{m_2}{M}RT_2}{\frac{m_1}{M}RT_1}$

Сократив одинаковые величины ($V, M, R$), получим:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Выразим отсюда отношение конечной массы газа к начальной:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Подставим известные из условия соотношения $p_2 = 0,8 p_1$ и $T_2 = 0,9 T_1$:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{0,8 p_1}{p_1} \cdot \frac{T_1}{0,9 T_1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$

Таким образом, конечная масса гелия в баллоне составляет $m_2 = \frac{8}{9}m_1$.

Масса гелия, который вышел из баллона, равна разности начальной и конечной масс:

$Δm = m_1 - m_2 = m_1 - \frac{8}{9}m_1 = \frac{1}{9}m_1$

Подставим значение начальной массы:

$Δm = \frac{1}{9} \cdot 0,3 \text{ кг} = \frac{0,1}{3} \text{ кг}$

Число молекул $\text{N}$ связано с массой вещества $\text{m}$ через молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$ формулой:

$N = \frac{m}{M}N_A$

Тогда число молекул, вышедших из баллона, равно:

$ΔN = \frac{Δm}{M}N_A$

Подставим численные значения:

$ΔN = \frac{\frac{0,1}{3} \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = \frac{0,1 \cdot 6,02 \cdot 10^{23}}{3 \cdot 4 \cdot 10^{-3}} = \frac{0,602}{12} \cdot 10^{26} \approx 0,0502 \cdot 10^{26} = 5,02 \cdot 10^{24}$

Ответ: из баллона вышло примерно $5,02 \cdot 10^{24}$ молекул гелия.