Номер 397, страница 56, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 397, страница 56.

Условие.

397. [331] Для исследования верхних слоёв атмосферы Венеры используется аэростатный зонд. Определите объём зонда, когда он находится в равновесии на высоте, на которой давление $5 \cdot 10^4$ Па, а температура $10^\circ C$. Считайте, что атмосфера Венеры состоит из углекислого газа $CO_2$, а зонд наполнен гелием. Масса зонда 20 кг.

Решение.

Дано:

$p = 5 \cdot 10^4$ Па

$t = 10$ °C

$m_{зонда} = 20$ кг

Атмосфера – углекислый газ ($CO_2$)

Наполнитель зонда – гелий ($He$)

Молярная масса углекислого газа $M_{CO_2} = 44 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Молярная масса гелия $M_{He} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Универсальная газовая постоянная $R = 8.31$ Дж/(моль·К)

$T = 10 + 273 = 283$ К

Найти:

$\text{V}$ – ?

Решение:

Зонд находится в равновесии, когда действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) уравновешивает суммарную силу тяжести, действующую на оболочку зонда и находящийся в нем газ (гелий). Ускорение свободного падения на Венере обозначим как $\text{g}$.

Условие равновесия:

$F_А = F_{тяж.зонда} + F_{тяж.He}$

Сила Архимеда определяется как $F_А = \rho_{CO_2} \cdot g \cdot V$, где $\rho_{CO_2}$ – плотность атмосферы Венеры (углекислого газа), а $\text{V}$ – объём зонда.

Суммарная сила тяжести равна $F_{тяж} = (m_{зонда} + m_{He}) \cdot g$. Массу гелия можно выразить через его плотность $\rho_{He}$ и объём $\text{V}$: $m_{He} = \rho_{He} \cdot V$.

Подставим выражения в условие равновесия:

$\rho_{CO_2} \cdot g \cdot V = (m_{зонда} + \rho_{He} \cdot V) \cdot g$

Сократим $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{CO_2} \cdot V = m_{зонда} + \rho_{He} \cdot V$

Выразим объём $\text{V}$:

$V \cdot (\rho_{CO_2} - \rho_{He}) = m_{зонда}$

$V = \frac{m_{зонда}}{\rho_{CO_2} - \rho_{He}}$

Плотности газов найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) $pV = \frac{m}{M}RT$. Выразим плотность $\rh°= \frac{m}{V}$:

$\rh°= \frac{pM}{RT}$

Рассчитаем плотность углекислого газа в атмосфере Венеры на данной высоте:

$\rho_{CO_2} = \frac{p \cdot M_{CO_2}}{R \cdot T} = \frac{5 \cdot 10^4 \text{ Па} \cdot 44 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 283 \text{ К}} \approx \frac{2200}{2351.73} \approx 0.935$ кг/м³

Рассчитаем плотность гелия внутри зонда при тех же давлении и температуре:

$\rho_{He} = \frac{p \cdot M_{He}}{R \cdot T} = \frac{5 \cdot 10^4 \text{ Па} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 283 \text{ К}} \approx \frac{200}{2351.73} \approx 0.085$ кг/м³

Теперь можем найти объём зонда:

$V = \frac{20 \text{ кг}}{0.935 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 0.085 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{20 \text{ кг}}{0.85 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 23.5$ м³

Ответ: объём зонда равен примерно 23,5 м³.