Номер 403, страница 57, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 403, страница 57.

Условие.

403. [337] В цилиндре на пружине подвешен поршень массой $20 \text{ кг}$ и площадью поперечного сечения $200 \text{ см}^2$. В положении равновесия поршень находится у дна сосуда, но на дно не давит. Под поршень закачивают воздух массой $29 \text{ г}$, при этом поршень поднимается на высоту $15 \text{ см}$. Определите жёсткость пружины. Эффективная молярная масса воздуха $0,029 \text{ кг/моль}$, температура воздуха $17 \text{ °C}$.

Решение.

Дано:

$M = 20$ кг

$S = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.02 \text{ м}^2$

$m = 29 \text{ г} = 0.029 \text{ кг}$

$h = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$\mu = 0.029 \text{ кг/моль}$

$t = 17 \text{ }^\circ\text{C}$

$T = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$

Найти:

$\text{k}$ - жёсткость пружины.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на поршень в начальном и конечном положениях. Будем считать, что пружина подвешивает поршень сверху. Ось $\text{Y}$ направим вертикально вверх.

В начальном положении равновесия (до закачки воздуха) поршень находится у дна и не давит на него. Это означает, что сумма сил, действующих на него, равна нулю. На поршень действуют сила тяжести $Mg$ (вниз) и сила упругости пружины $F_{упр1}$ (вверх). Если над поршнем есть воздух, то также действует сила атмосферного давления $p_a S$ (вниз). Условие равновесия:

$F_{упр1} = Mg + p_a S$

После закачки воздуха под поршень, он поднимается на высоту $\text{h}$ и устанавливается в новом положении равновесия. Теперь на поршень действуют: сила тяжести $Mg$ (вниз), сила атмосферного давления $p_a S$ (вниз), новая сила упругости пружины $F_{упр2}$ (вверх) и сила давления закачанного воздуха $pS$ (вверх). Условие равновесия для конечного состояния:

$F_{упр2} + pS = Mg + p_a S$

Когда поршень поднимается на высоту $\text{h}$, пружина, прикрепленная сверху, укорачивается на $\text{h}$, и её растяжение уменьшается. Следовательно, сила упругости уменьшается на величину $\Delta F_{упр} = kh$. Таким образом, новая сила упругости связана со старой соотношением:

$F_{упр2} = F_{упр1} - kh$

Подставим это выражение в уравнение для конечного состояния:

$(F_{упр1} - kh) + pS = Mg + p_a S$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $F_{упр1}$ из условия равновесия начального состояния:

$(Mg + p_a S - kh) + pS = Mg + p_a S$

Сокращая одинаковые члены в левой и правой частях уравнения, получаем:

$-kh + pS = 0$

Отсюда следует, что $kh = pS$. Выразим жёсткость пружины:

$k = \frac{pS}{h}$

Давление воздуха $\text{p}$ под поршнем можно найти, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

где $\nu$ - количество вещества воздуха, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура воздуха.

Количество вещества воздуха равно $\nu = \frac{m}{\mu}$.

Объём, занимаемый воздухом под поршнем, равен $V = Sh$.

Подставим выражения для $\nu$ и $\text{V}$ в уравнение состояния:

$p(Sh) = \frac{m}{\mu}RT$

Из этого уравнения выразим произведение $pS$, которое нам необходимо для расчёта $\text{k}$:

$pS = \frac{mRT}{\mu h}$

Теперь подставим это выражение в формулу для жёсткости $kh = pS$:

$kh = \frac{mRT}{\mu h}$

Отсюда окончательно получаем расчётную формулу для жёсткости $\text{k}$:

$k = \frac{mRT}{\mu h^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$k = \frac{0.029 \text{ кг} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot 290 \text{ К}}{0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot (0.15 \text{ м})^2} = \frac{8.31 \cdot 290}{0.0225} = \frac{2409.9}{0.0225} \approx 107106.7 \text{ Н/м}$

Округлим результат.

$k \approx 107.1 \text{ кН/м}$

Ответ: жёсткость пружины составляет приблизительно $107.1$ кН/м.