Номер 402, страница 56, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 402, страница 56.

Условие.

402. [336] Вертикально установленный цилиндр с тяжёлым поршнем площадью $100\ \text{см}^2$, движущимся без трения, наполнен кислородом, масса которого $0,2\ \text{кг}$. При увеличении температуры на $100\ \text{К}$ поршень поднялся на $50\ \text{см}$. Чему равна масса поршня? Атмосферное давление считайте равным $10^5\ \text{Па}$.

Решение.

Дано:

Площадь поршня, $S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
Масса кислорода, $m = 0.2 \text{ кг}$
Увеличение температуры, $\Delta T = 100 \text{ К}$
Высота подъема поршня, $\Delta h = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
Атмосферное давление, $P_a = 10^5 \text{ Па}$

Справочные данные:
Молярная масса кислорода ($O_2$), $\mu = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} = 0.032 \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Массу поршня, $\text{M}$.

Решение:

Поскольку поршень тяжелый и может свободно перемещаться без трения, процесс нагревания кислорода будет происходить при постоянном давлении (изобарный процесс). Давление газа $\text{P}$ внутри цилиндра уравновешивает сумму атмосферного давления $P_a$ и давления, создаваемого весом поршня.

Условие равновесия поршня:$P \cdot S = P_a \cdot S + M \cdot g$где $\text{M}$ – масса поршня, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.Отсюда давление газа в цилиндре:$P = P_a + \frac{Mg}{S}$

При изобарном нагревании идеального газа можно использовать уравнение состояния для двух моментов времени, но удобнее записать уравнение Менделеева-Клапейрона для изменения состояния:$P \Delta V = \nu R \Delta T$где $\Delta V$ – изменение объема газа, $\nu$ – количество вещества (число молей) газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ – изменение температуры.

Изменение объема газа равно $\Delta V = S \cdot \Delta h$.Количество вещества кислорода $\nu = \frac{m}{\mu}$.Подставим эти выражения в уравнение:$P \cdot S \cdot \Delta h = \frac{m}{\mu} R \Delta T$

Теперь подставим в это уравнение выражение для давления $\text{P}$:$\left(P_a + \frac{Mg}{S}\right) S \Delta h = \frac{m}{\mu} R \Delta T$

Раскроем скобки и выразим массу поршня $\text{M}$:$P_a S \Delta h + Mg \Delta h = \frac{m}{\mu} R \Delta T$$Mg \Delta h = \frac{m}{\mu} R \Delta T - P_a S \Delta h$$M = \frac{1}{g \Delta h} \left( \frac{m}{\mu} R \Delta T - P_a S \Delta h \right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:$M = \frac{1}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.5 \text{ м}} \left( \frac{0.2 \text{ кг}}{0.032 \text{ кг/моль}} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 100 \text{ К} - 10^5 \text{ Па} \cdot 0.01 \text{ м}^2 \cdot 0.5 \text{ м} \right)$$M = \frac{1}{5} \left( 6.25 \cdot 8.31 \cdot 100 - 1000 \cdot 0.5 \right) \text{ кг}$$M = \frac{1}{5} \left( 5193.75 - 500 \right) \text{ кг}$$M = \frac{4693.75}{5} \text{ кг}$$M = 938.75 \text{ кг}$

Ответ: масса поршня равна 938.75 кг.