Номер 405, страница 57, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 405, страница 57.

Условие.

405. [339] Закрытый сосуд заполнен газом при температуре 300 К и давлении 150 кПа. Сосуд снабжён клапаном, открывающимся при давлении 200 кПа. Сосуд нагрели до 600 К. При этом из него вышел газ массой 10 г. Определите массу газа в сосуде до его нагрева.

Решение.

Дано:

$T_1 = 300 \text{ К}$

$p_1 = 150 \text{ кПа} = 150 \times 10^3 \text{ Па}$

$p_{кл} = 200 \text{ кПа} = 200 \times 10^3 \text{ Па}$

$T_2 = 600 \text{ К}$

$\Delta m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

$m_1$

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний газа в сосуде.

Начальное состояние (до нагрева):

$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$ (1)

где $p_1$ – начальное давление, $\text{V}$ – объем сосуда, $m_1$ – начальная масса газа, $\text{M}$ – молярная масса газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $T_1$ – начальная температура.

При нагревании сосуда давление газа увеличивается. Найдем температуру $T_{кл}$, при которой давление достигнет $p_{кл} = 200 \text{ кПа}$ и клапан откроется. Поскольку объем сосуда и масса газа до открытия клапана постоянны, процесс является изохорным, и для него выполняется закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_{кл}}{T_{кл}}$

Отсюда температура открытия клапана:

$T_{кл} = T_1 \frac{p_{кл}}{p_1} = 300 \text{ К} \cdot \frac{200 \text{ кПа}}{150 \text{ кПа}} = 400 \text{ К}$

Так как конечная температура $T_2 = 600 \text{ К}$ больше, чем $T_{кл} = 400 \text{ К}$, клапан откроется, и часть газа выйдет из сосуда. Дальнейшее нагревание до $T_2$ будет происходить при постоянном давлении, равном давлению открытия клапана, то есть конечное давление в сосуде будет $p_2 = p_{кл} = 200 \text{ кПа}$.

Конечное состояние (после нагрева до $T_2$ и выхода части газа):

$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$ (2)

где $p_2 = p_{кл}$ – конечное давление, $m_2$ – конечная масса газа, $T_2$ – конечная температура. Масса газа, оставшегося в сосуде, связана с начальной массой соотношением:

$m_2 = m_1 - \Delta m$

Выразим величину $\frac{V M}{R}$ из уравнений (1) и (2):

Из (1): $\frac{V M}{R} = \frac{m_1 T_1}{p_1}$

Из (2): $\frac{V M}{R} = \frac{m_2 T_2}{p_2}$

Приравняем правые части выражений, так как левые части равны:

$\frac{m_1 T_1}{p_1} = \frac{m_2 T_2}{p_2}$

Подставим выражение для $m_2 = m_1 - \Delta m$:

$\frac{m_1 T_1}{p_1} = \frac{(m_1 - \Delta m) T_2}{p_2}$

Теперь решим это уравнение относительно искомой массы $m_1$:

$m_1 T_1 p_2 = (m_1 - \Delta m) T_2 p_1$

$m_1 T_1 p_2 = m_1 T_2 p_1 - \Delta m T_2 p_1$

$\Delta m T_2 p_1 = m_1 T_2 p_1 - m_1 T_1 p_2$

$\Delta m T_2 p_1 = m_1 (T_2 p_1 - T_1 p_2)$

$m_1 = \frac{\Delta m T_2 p_1}{T_2 p_1 - T_1 p_2}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно использовать давление в кПа и массу в граммах, так как единицы измерения в числителе и знаменателе сократятся:

$m_1 = \frac{10 \text{ г} \cdot 600 \text{ К} \cdot 150 \text{ кПа}}{600 \text{ К} \cdot 150 \text{ кПа} - 300 \text{ К} \cdot 200 \text{ кПа}} = \frac{900000}{90000 - 60000} = \frac{900000}{30000} = 30 \text{ г}$

Ответ: масса газа в сосуде до его нагрева составляла 30 г.