Номер 404, страница 57, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 404, страница 57.

Условие.

404. [338] В запаянном цилиндре, из которого откачан воздух, на пружине подвешен поршень, масса которого очень мала. Когда поршень находится у дна сосуда, пружина не деформирована (рис. 84). При закачивании между дном цилиндра и поршнем воздуха при температуре $27 ^{\circ}\mathrm{C}$ поршень поднимается на высоту $10 \, \mathrm{см}$. Определите, на сколько поднимется поршень, если массу закачиваемого воздуха увеличить в 4 раза, а температуру повысить до $47 ^{\circ}\mathrm{C}$. Рис. 84

Решение.

Дано:
$t_1 = 27^\circ C$
$h_1 = 10 \text{ см}$
$\frac{m_2}{m_1} = 4$
$t_2 = 47^\circ C$

$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$h_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$T_2 = 47 + 273 = 320 \text{ К}$

Найти:
$h_2$

Решение:

Поскольку масса поршня очень мала, мы можем ею пренебречь. В состоянии равновесия сила давления газа под поршнем уравновешивается силой упругости пружины. Изначально, когда поршень у дна, пружина не деформирована.

Сила давления газа определяется как $F_{газ} = P \cdot S$, где $\text{P}$ – давление газа, а $\text{S}$ – площадь поршня.

Сила упругости пружины по закону Гука равна $F_{упр} = k \cdot h$, где $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\text{h}$ – высота подъема поршня, которая равна удлинению пружины.

Запишем условие равновесия поршня:

$F_{газ} = F_{упр}$

$P \cdot S = k \cdot h$

Из этого уравнения можно выразить давление газа через высоту подъема поршня: $P = \frac{k h}{S}$.

Состояние газа под поршнем описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$P V = \frac{m}{M} R T$

где $\text{V}$ – объем газа, $\text{m}$ – его масса, $\text{M}$ – молярная масса воздуха, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура газа.

Объем газа под поршнем связан с высотой его подъема: $V = S \cdot h$.

Подставим выражения для давления $\text{P}$ и объема $\text{V}$ в уравнение состояния газа:

$(\frac{k h}{S}) \cdot (S h) = \frac{m}{M} R T$

После упрощения получаем: $k h^2 = \frac{m}{M} R T$.

Теперь запишем это соотношение для двух состояний системы.

Для первого состояния (начальные параметры):

$k h_1^2 = \frac{m_1}{M} R T_1$ (1)

Для второго состояния (конечные параметры):

$k h_2^2 = \frac{m_2}{M} R T_2$ (2)

Чтобы найти $h_2$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{k h_2^2}{k h_1^2} = \frac{\frac{m_2}{M} R T_2}{\frac{m_1}{M} R T_1}$

Сокращаем константы ($k, M, R$):

$\frac{h_2^2}{h_1^2} = \frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}$

Выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2^2 = h_1^2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

$h_2 = h_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{T_2}{T_1}}$

Подставим числовые значения из условия задачи (можно оставить высоту в сантиметрах, так как она является множителем):

$h_2 = 10 \text{ см} \cdot \sqrt{4 \cdot \frac{320 \text{ К}}{300 \text{ К}}} = 10 \cdot \sqrt{4 \cdot \frac{32}{30}} = 10 \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{16}{15}} = 20 \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{80}{\sqrt{15}}$

Вычислим приближенное значение:

$h_2 \approx \frac{80}{3.873} \approx 20.656 \text{ см}$

Округлим результат до десятых:

$h_2 \approx 20.7 \text{ см}$

Ответ: поршень поднимется на высоту примерно 20,7 см.