Номер 398, страница 56, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Уравнение состояния идеального газа - номер 398, страница 56.

Условие.

398. [332] При изотермическом процессе плотность газа изменилась на $0,2 \text{ кг}/\text{м}^3$, а давление увеличилось на $0,4 \text{ атм}$. Первоначальное давление было равно $1 \text{ атм}$. Вычислите плотность газа в начале процесса.

Решение.

Дано:

Процесс изотермический, $T = const$

Изменение плотности, $\Delta\rh°= 0,2 \text{ кг/м³}$

Увеличение давления, $\Delta p = 0,4 \text{ атм}$

Первоначальное давление, $p_1 = 1 \text{ атм}$

Перевод в систему СИ:

$p_1 = 1 \text{ атм} \approx 101325 \text{ Па}$

$\Delta p = 0,4 \text{ атм} = 0,4 \cdot 101325 \text{ Па} = 40530 \text{ Па}$

Найти:

Первоначальную плотность газа, $\rho_1$

Решение:

Для изотермического процесса (при постоянной температуре $\text{T}$) справедливо соотношение, вытекающее из закона Бойля-Мариотта. Запишем уравнение состояния идеального газа:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объем, $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – молярная масса газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная.

Плотность газа $\rho$ определяется как $\rh°= \frac{m}{V}$, откуда объем $V = \frac{m}{\rho}$. Подставим это выражение в уравнение состояния:

$p\frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT$

Сократив массу $\text{m}$, получим:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Поскольку для изотермического процесса температура $\text{T}$ постоянна, а $\text{R}$ и $\text{M}$ также являются константами, правая часть уравнения является постоянной величиной. Следовательно, отношение давления к плотности для двух состояний газа (начального и конечного) будет одинаковым:

$\frac{p_1}{\rho_1} = \frac{p_2}{\rho_2}$

Из условия задачи известны следующие параметры:

Начальное давление: $p_1 = 1 \text{ атм}$.

Конечное давление: $p_2 = p_1 + \Delta p = 1 \text{ атм} + 0,4 \text{ атм} = 1,4 \text{ атм}$.

Поскольку давление увеличилось, газ был сжат, и его плотность также увеличилась. Таким образом, конечное значение плотности:

$\rho_2 = \rho_1 + \Delta\rh°= \rho_1 + 0,2 \text{ кг/м³}$

Подставим эти выражения в наше соотношение. Обратите внимание, что давление можно оставить в атмосферах, так как единицы измерения сократятся.

$\frac{1}{\rho_1} = \frac{1,4}{\rho_1 + 0,2}$

Решим это уравнение относительно $\rho_1$:

$1 \cdot (\rho_1 + 0,2) = 1,4 \cdot \rho_1$

$\rho_1 + 0,2 = 1,4\rho_1$

$0,2 = 1,4\rho_1 - \rho_1$

$0,2 = 0,4\rho_1$

$\rho_1 = \frac{0,2}{0,4} = 0,5 \text{ кг/м³}$

Ответ: первоначальная плотность газа равна $0,5 \text{ кг/м³}$.