Номер 414, страница 58, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 414, страница 58.

Условие.

414. [343] Со дна водоёма глубиной 80 м поднимается вверх пузырёк воздуха. Атмосферное давление $10^5$ Па. На какой глубине радиус пузырька увеличится в 2 раза? Температуру воздуха в пузырьке считайте постоянной.

Решение.

Дано

Начальная глубина: $h_1 = 80$ м

Атмосферное давление: $P_{атм} = 10^5$ Па

Соотношение радиусов: $r_2 = 2r_1$

Температура постоянна: $T = \text{const}$

Плотность воды: $\rh°\approx 1000$ кг/м$^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$h_2$ - глубина, на которой радиус пузырька увеличится в 2 раза.

Решение

Процесс подъёма пузырька воздуха является изотермическим, так как по условию его температура постоянна. Для газа постоянной массы при постоянной температуре выполняется закон Бойля-Мариотта:

$PV = \text{const}$

Запишем этот закон для двух состояний пузырька: начального (на глубине $h_1$) и конечного (на искомой глубине $h_2$).

$P_1V_1 = P_2V_2$

Здесь $P_1$ и $V_1$ – давление и объём пузырька на глубине $h_1$, а $P_2$ и $V_2$ – на глубине $h_2$.

Давление воды на глубине $\text{h}$ равно сумме атмосферного давления $P_{атм}$ и гидростатического давления столба жидкости $\rh°g h$:

$P = P_{атм} + \rh°g h$

Таким образом, давление в начальном и конечном состояниях:

$P_1 = P_{атм} + \rh°g h_1$

$P_2 = P_{атм} + \rh°g h_2$

Объём сферического пузырька определяется его радиусом $\text{r}$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

По условию, в конечном состоянии радиус пузырька в 2 раза больше начального: $r_2 = 2r_1$. Найдём соотношение объёмов:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8r_1^3 = 8 \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) = 8V_1$

Подставим выражения для давлений и объёмов в закон Бойля-Мариотта:

$(P_{атм} + \rh°g h_1)V_1 = (P_{атм} + \rh°g h_2)(8V_1)$

Сократим объём $V_1$ в обеих частях уравнения:

$P_{атм} + \rh°g h_1 = 8(P_{атм} + \rh°g h_2)$

Выразим из этого уравнения искомую глубину $h_2$:

$P_{атм} + \rh°g h_1 = 8P_{атм} + 8\rh°g h_2$

$8\rh°g h_2 = \rh°g h_1 + P_{атм} - 8P_{атм}$

$8\rh°g h_2 = \rh°g h_1 - 7P_{атм}$

$h_2 = \frac{\rh°g h_1 - 7P_{атм}}{8\rh°g}$

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

$h_2 = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 80 \text{ м} - 7 \cdot 10^5 \text{ Па}}{8 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{8 \cdot 10^5 \text{ Па} - 7 \cdot 10^5 \text{ Па}}{8 \cdot 10^4 \frac{\text{Па}}{\text{м}}} = \frac{1 \cdot 10^5}{8 \cdot 10^4} \text{ м} = \frac{10}{8} \text{ м} = 1.25 \text{ м}$

Ответ: радиус пузырька увеличится в 2 раза на глубине 1,25 м.