Номер 420, страница 59, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 420, страница 59.

Условие.

420. [349] Узкая трубка, запаянная с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути. Если трубка повёрнута запаянным концом вниз, то высота столбика воздуха $l_1$; если трубка повёрнута запаянным концом вверх, то высота столбика воздуха $l_2$. Высота столбика ртути $\text{h}$, плотность ртути $\rho_{\text{рт}}$. Определите атмосферное давление воздуха.

Решение.

Дано:

$l_1$ - высота столбика воздуха, когда трубка запаянным концом вниз.

$l_2$ - высота столбика воздуха, когда трубка запаянным концом вверх.

$\text{h}$ - высота столбика ртути.

$\rho_{рт}$ - плотность ртути.

Найти:

$P_a$ - атмосферное давление.

Решение:

Будем считать, что процесс изменения объема воздуха в трубке является изотермическим, так как температура воздуха не меняется. Следовательно, для воздуха в трубке выполняется закон Бойля-Мариотта: $PV = const$.

Рассмотрим два состояния системы.

1. Трубка повернута запаянным концом вниз. В этом случае открытый конец трубки находится вверху. Давление на запертый воздух $P_1$ создается атмосферным давлением $P_a$ и давлением столбика ртути высотой $\text{h}$. Давление столбика ртути равно $P_{рт} = \rho_{рт} g h$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Таким образом, давление воздуха в первом состоянии:

$P_1 = P_a + \rho_{рт} g h$

Объем воздуха в этом состоянии равен $V_1 = S l_1$, где $\text{S}$ - площадь поперечного сечения трубки.

2. Трубка повернута запаянным концом вверх. В этом случае открытый конец трубки находится внизу. Атмосферное давление $P_a$ уравновешивает давление столбика воздуха $P_2$ и давление столбика ртути. Следовательно, давление воздуха во втором состоянии:

$P_2 = P_a - \rho_{рт} g h$

Объем воздуха в этом состоянии равен $V_2 = S l_2$.

Согласно закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

Подставим выражения для давлений и объемов:

$(P_a + \rho_{рт} g h) S l_1 = (P_a - \rho_{рт} g h) S l_2$

Сократим на площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$(P_a + \rho_{рт} g h) l_1 = (P_a - \rho_{рт} g h) l_2$

Раскроем скобки и выразим атмосферное давление $P_a$:

$P_a l_1 + \rho_{рт} g h l_1 = P_a l_2 - \rho_{рт} g h l_2$

Перенесем слагаемые, содержащие $P_a$, в одну сторону, а остальные - в другую:

$P_a l_2 - P_a l_1 = \rho_{рт} g h l_1 + \rho_{рт} g h l_2$

Вынесем общие множители за скобки:

$P_a (l_2 - l_1) = \rho_{рт} g h (l_1 + l_2)$

Отсюда находим искомую величину атмосферного давления:

$P_a = \frac{\rho_{рт} g h (l_1 + l_2)}{l_2 - l_1}$

Ответ: $P_a = \frac{\rho_{рт} g h (l_1 + l_2)}{l_2 - l_1}$