Номер 419, страница 59, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 419, страница 59.

Условие.

419.Н Поршень массой $10 \text{ кг}$ делит объём закрытого сосуда, расположенного вертикально, на части в отношении $\frac{1}{2}$. С каким ускорением должен двигаться сосуд, чтобы поршень делил сосуд ровно пополам? Начальное давление в нижней половине сосуда $0.01 \text{ атм}$. Площадь поршня $0.05 \text{ м}^2$.

Решение.

Прежде чем приступить к решению, необходимо проанализировать начальные условия задачи. В начальном состоянии поршень находится в равновесии. На него действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вниз, сила давления газа из верхней части сосуда $F_1 = P_{1i}S$, направленная вниз, и сила давления газа из нижней части сосуда $F_2 = P_{2i}S$, направленная вверх. Условие равновесия имеет вид:

$P_{2i}S = P_{1i}S + mg$

Используем данные из условия: $m = 10 \text{ кг}$, $S = 0,05 \text{ м}^2$, $P_{2i} = 0,01 \text{ атм}$. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ и $1 \text{ атм} \approx 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Сила тяжести: $mg = 10 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 98 \text{ Н}$.

Сила давления газа в нижней части: $F_2 = P_{2i}S = (0,01 \cdot 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 0,05 \text{ м}^2 = 1013 \text{ Па} \cdot 0,05 \text{ м}^2 = 50,65 \text{ Н}$.

Как видно, сила давления газа в нижней части $F_2 = 50,65 \text{ Н}$ меньше, чем сила тяжести поршня $mg = 98 \text{ Н}$. Это означает, что сила $F_2$ не способна уравновесить даже вес поршня, не говоря уже о дополнительном давлении газа сверху. Таким образом, описанное в задаче начальное состояние физически невозможно. Поршень не мог бы находиться в равновесии и лежал бы на дне сосуда.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее правдоподобное предположение, которое делает задачу решаемой и физически корректной, состоит в том, что указанное начальное давление $0,01 \text{ атм}$ относится к верхней части сосуда, а не к нижней. Далее задача будет решаться исходя из этого предположения.

Дано:

$m = 10 \text{ кг}$

Отношение объемов $k = 1/2$

$P_{1i} = 0,01 \text{ атм}$ (предполагаемая опечатка исправлена: давление в верхней части)

$S = 0,05 \text{ м}^2$

$g = 9,8 \text{ м/с}^2$

$1 \text{ атм} = 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$P_{1i} = 0,01 \cdot 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па} = 1013 \text{ Па}$

Найти:

$\text{a}$ - ускорение сосуда.

Решение:

1. Анализ начального состояния.

В начальном состоянии поршень находится в равновесии. Запишем условие равновесия, учитывая, что сила давления из нижней части $P_{2i}S$ уравновешивает силу тяжести $mg$ и силу давления из верхней части $P_{1i}S$:

$P_{2i}S = P_{1i}S + mg$

Отсюда найдем давление в нижней части сосуда $P_{2i}$:

$P_{2i} = P_{1i} + \frac{mg}{S} = 1013 \text{ Па} + \frac{10 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,05 \text{ м}^2} = 1013 \text{ Па} + 1960 \text{ Па} = 2973 \text{ Па}$.

Так как $P_{2i} > P_{1i}$, и процесс изменения состояния газа можно считать изотермическим ($PV = \text{const}$), то для равновесия объем нижней части должен быть меньше объема верхней ($V_{2i} < V_{1i}$), если количество газа в частях сопоставимо. Поэтому отношение объемов $1/2$ следует понимать как $V_{2i}/V_{1i} = 1/2$.

Пусть $\text{V}$ - полный объем сосуда. Тогда $V = V_{1i} + V_{2i}$. Из отношения $V_{1i} = 2V_{2i}$ получаем $V = 2V_{2i} + V_{2i} = 3V_{2i}$.

Начальные объемы: $V_{2i} = V/3$ и $V_{1i} = 2V/3$.

2. Анализ конечного состояния.

В конечном состоянии поршень делит сосуд пополам, то есть конечные объемы равны:

$V_{1f} = V_{2f} = V/2$.

Поршень переместился из положения, где нижний объем составлял $V/3$, в положение, где он составляет $V/2$. Следовательно, поршень сместился вверх. Чтобы поршень сместился вверх относительно своего положения равновесия, сосуд должен двигаться с ускорением, направленным вниз. В системе отсчета, связанной с сосудом, на поршень будет действовать сила инерции $F_{ин} = ma$, направленная вверх.

3. Применение второго закона Ньютона.

Рассмотрим равновесие поршня в неинерциальной системе отсчета, движущейся вместе с сосудом с ускорением $\text{a}$ вниз. Условие равновесия:

$P_{1f}S + mg = P_{2f}S + F_{ин}$

$P_{1f}S + mg = P_{2f}S + ma$

Отсюда выразим искомое ускорение:

$ma = P_{1f}S - P_{2f}S + mg \implies a = \frac{(P_{1f} - P_{2f})S + mg}{m}$

4. Нахождение конечных давлений.

Считая процесс изотермическим, применим закон Бойля-Мариотта для каждой части сосуда:

$P_{1i}V_{1i} = P_{1f}V_{1f} \implies P_{1f} = P_{1i}\frac{V_{1i}}{V_{1f}} = P_{1i}\frac{2V/3}{V/2} = \frac{4}{3}P_{1i}$

$P_{2i}V_{2i} = P_{2f}V_{2f} \implies P_{2f} = P_{2i}\frac{V_{2i}}{V_{2f}} = P_{2i}\frac{V/3}{V/2} = \frac{2}{3}P_{2i}$

5. Расчет ускорения.

Подставим выражения для $P_{1f}$ и $P_{2f}$ в формулу для ускорения:

$a = \frac{(\frac{4}{3}P_{1i} - \frac{2}{3}P_{2i})S + mg}{m}$

Теперь подставим выражение для $P_{2i}$ из начального условия равновесия ($P_{2i} = P_{1i} + mg/S$):

$a = \frac{(\frac{4}{3}P_{1i} - \frac{2}{3}(P_{1i} + \frac{mg}{S}))S + mg}{m} = \frac{(\frac{4}{3}P_{1i}S - \frac{2}{3}P_{1i}S - \frac{2}{3}mg) + mg}{m}$

$a = \frac{\frac{2}{3}P_{1i}S - \frac{2}{3}mg + mg}{m} = \frac{\frac{2}{3}P_{1i}S + \frac{1}{3}mg}{m} = \frac{2P_{1i}S + mg}{3m}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{2 \cdot (1013 \text{ Па}) \cdot (0,05 \text{ м}^2) + 10 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{3 \cdot 10 \text{ кг}} = \frac{2 \cdot 50,65 \text{ Н} + 98 \text{ Н}}{30 \text{ кг}} = \frac{101,3 \text{ Н} + 98 \text{ Н}}{30 \text{ кг}} = \frac{199,3 \text{ Н}}{30 \text{ кг}} \approx 6,64 \text{ м/с}^2$

Ускорение должно быть направлено вертикально вниз.

Ответ: Сосуд должен двигаться с ускорением $a \approx 6,6 \text{ м/с}^2$, направленным вертикально вниз.