Номер 424, страница 59, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 424, страница 59.

Условие.

424. [353] При охлаждении газа температура уменьшилась от 127 до 7 °С. Во сколько раз изменилась плотность газа? Масса газа и его давление остались неизменными.

Решение.

Дано:

$t_1 = 127$ °C

$t_2 = 7$ °C

$p = \text{const}$ (давление постоянно)

$m = \text{const}$ (масса постоянна)

Перевод в систему СИ:

Для решения задач по термодинамике необходимо перевести температуру из градусов Цельсия (°C) в кельвины (К) по формуле $T = t + 273$.

$T_1 = 127 + 273 = 400$ К

$T_2 = 7 + 273 = 280$ К

Найти:

Во сколько раз изменилась плотность, то есть найти отношение $\frac{\rho_2}{\rho_1}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ – давление газа, $\text{V}$ – его объем, $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – молярная масса газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему:

$\rh°= \frac{m}{V}$

Из этой формулы выразим объем $V = \frac{m}{\rho}$ и подставим его в уравнение состояния идеального газа:

$p \cdot \frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT$

Так как масса газа $\text{m}$ не равна нулю, мы можем сократить ее в обеих частях уравнения:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Выразим из этого соотношения плотность $\rho$:

$\rh°= \frac{pM}{RT}$

Запишем это выражение для начального (индекс 1) и конечного (индекс 2) состояний газа:

$\rho_1 = \frac{p_1 M}{RT_1}$

$\rho_2 = \frac{p_2 M}{RT_2}$

По условию задачи давление не изменяется, то есть $p_1 = p_2 = p$. Молярная масса газа $\text{M}$ и универсальная газовая постоянная $\text{R}$ также являются постоянными величинами. Чтобы найти, во сколько раз изменилась плотность, найдем отношение $\frac{\rho_2}{\rho_1}$:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\frac{pM}{RT_2}}{\frac{pM}{RT_1}}$

При делении дробей "переворачиваем" знаменатель и умножаем:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{pM}{RT_2} \cdot \frac{RT_1}{pM}$

Сокращаем одинаковые величины ($p, M, R$):

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{T_1}{T_2}$

Мы получили, что при постоянном давлении плотность газа обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Подставим числовые значения температур в кельвинах:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{400 \text{ К}}{280 \text{ К}} = \frac{40}{28} = \frac{10}{7} \approx 1,43$

Так как отношение больше единицы, плотность газа увеличилась.

Ответ: плотность газа увеличилась в $\frac{10}{7}$ раза (или примерно в 1,43 раза).