Номер 418, страница 58, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 418, страница 58.

Условие.

418. [318] Баллон вместимостью 50 л наполнили воздухом до давления 10 МПа. Какой объём воздуха можно вытеснить из цистерны подводной лодки с помощью этого баллона на глубине 40 м? Температура воздуха не меняется.

Решение.

Дано

Вместимость баллона (начальный объём воздуха), $V_1 = 50$ л

Начальное давление воздуха в баллоне, $p_1 = 10$ МПа

Глубина, $h = 40$ м

Температура, $T = \text{const}$

Плотность воды (пресной), $\rh°\approx 1000$ кг/м³

Атмосферное давление, $p_a \approx 10^5$ Па

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

$V_1 = 50 \text{ л} = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.05 \text{ м}^3$
$p_1 = 10 \text{ МПа} = 10 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Найти:

Объём вытесненного воздуха, $V_{выт}$ - ?

Решение

Поскольку по условию задачи температура воздуха не меняется, процесс расширения воздуха из баллона является изотермическим. Следовательно, для этого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, который связывает начальное и конечное состояния газа:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Здесь $p_1$ и $V_1$ — начальные давление и объём воздуха в баллоне, а $p_2$ и $V_2$ — конечные давление и объём.

Воздух из баллона будет выходить в цистерну и вытеснять воду до тех пор, пока давление в баллоне и цистерне не сравняется с давлением окружающей воды на глубине $\text{h}$. Это давление $p_2$ складывается из атмосферного давления $p_a$ и гидростатического давления столба воды $\rh°g h$.

$p_2 = p_a + \rh°g h$

Рассчитаем конечное давление:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 40 \text{ м} = 10^5 \text{ Па} + 4 \cdot 10^5 \text{ Па} = 5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Теперь из закона Бойля-Мариотта найдем общий объём $V_2$, который займёт весь воздух из баллона при давлении $p_2$:

$V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2}$

Подставим числовые значения:

$V_2 = \frac{10 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0.05 \text{ м}^3}{5 \cdot 10^5 \text{ Па}} = \frac{100 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0.05 \text{ м}^3}{5 \cdot 10^5 \text{ Па}} = \frac{100 \cdot 0.05}{5} \text{ м}^3 = 20 \cdot 0.05 \text{ м}^3 = 1 \text{ м}^3$

Полученный объём $V_2$ — это полный объём, который занимает воздух после расширения. Он включает в себя объём самого баллона $V_1$ (так как воздух остаётся и в нём) и объём вытесненного из цистерны воздуха $V_{выт}$. Таким образом, объём воздуха, который можно вытеснить из цистерны, равен разности конечного и начального объёмов:

$V_{выт} = V_2 - V_1$

$V_{выт} = 1 \text{ м}^3 - 0.05 \text{ м}^3 = 0.95 \text{ м}^3$

Ответ: с помощью этого баллона можно вытеснить 0.95 м³ воздуха.