Номер 415, страница 58, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 415, страница 58.

Условие.

415. [344] Трубку длиной 80 см наполовину погружают в ртуть, затем герметично закрывают сверху и вынимают. Определите длину столбика ртути, который останется в трубке.

Решение.

Дано:

Длина трубки $L = 80$ см

Трубка погружена наполовину, следовательно, начальная длина столба воздуха $L_1 = L/2 = 40$ см

Атмосферное давление (нормальное) $P_a = 760$ мм рт. ст. = 76 см рт. ст.

В системе СИ:

$L = 0.8$ м

$L_1 = 0.4$ м

$P_a \approx 1.013 \times 10^5$ Па

Найти:

$\text{h}$ — длину столбика ртути, который останется в трубке.

Решение:

Процесс, происходящий с воздухом в трубке, будем считать изотермическим, так как в условии не сказано об изменении температуры. Следовательно, мы можем применить закон Бойля-Мариотта.

1. Начальное состояние. Когда трубка наполовину погружена в ртуть и открыта, воздух в ней занимает объем $V_1 = S \cdot L_1$, где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения трубки. Давление воздуха в трубке равно атмосферному: $P_1 = P_a$.

2. Конечное состояние. После того как трубку герметично закрыли и вынули из ртути, в ней остался столбик ртути высотой $\text{h}$. Над ним находится запертый воздух, который теперь занимает объем $V_2 = S \cdot (L - h)$. Давление этого воздуха стало $P_2$.

В конечном состоянии система находится в равновесии. Давление снаружи на уровне нижнего мениска ртути в трубке равно атмосферному $P_a$. Это давление уравновешивается суммой давления запертого воздуха $P_2$ и гидростатического давления столба ртути высотой $\text{h}$, которое равно $\rh°g h$. Таким образом, условие равновесия:

$P_a = P_2 + \rh°g h$

Отсюда можно выразить давление воздуха в конечном состоянии:

$P_2 = P_a - \rh°g h$

3. Применение закона Бойля-Мариотта. Для изотермического процесса произведение давления на объем газа остается постоянным:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

Подставим выражения для давлений и объемов:

$P_a \cdot (S \cdot L_1) = (P_a - \rh°g h) \cdot (S \cdot (L - h))$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается:

$P_a \cdot L_1 = (P_a - \rh°g h) \cdot (L - h)$

Для удобства вычислений выразим давление в сантиметрах ртутного столба. В этих единицах нормальное атмосферное давление $P_a$ соответствует высоте столба ртути $H_a = 76$ см, а гидростатическое давление $\rh°g h$ соответствует высоте $\text{h}$ (в см). Тогда уравнение примет вид:

$H_a \cdot L_1 = (H_a - h) \cdot (L - h)$

Подставим числовые значения (все величины в сантиметрах):

$76 \cdot 40 = (76 - h) \cdot (80 - h)$

$3040 = 6080 - 80h - 76h + h^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$h^2 - 156h + 3040 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-156)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3040 = 24336 - 12160 = 12176$

Найдем корни уравнения:

$h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{156 \pm \sqrt{12176}}{2} \approx \frac{156 \pm 110.34}{2}$

Получаем два корня:

$h_1 \approx \frac{156 + 110.34}{2} \approx 133.17$ см

$h_2 \approx \frac{156 - 110.34}{2} \approx 22.83$ см

Первый корень $h_1$ не имеет физического смысла, так как высота столба ртути $\text{h}$ не может быть больше длины всей трубки ($L=80$ см). Следовательно, решением задачи является второй корень.

Ответ: длина столбика ртути, который останется в трубке, составляет примерно 22.8 см.