Номер 416, страница 58, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 416, страница 58.

Условие.

416. [345] Пробирку длиной $l = 80 \text{ см}$ погружают открытым концом в сосуд с водой на глубину $l/2$. Определите разность уровней воды в пробирке и сосуде.

Решение.

Дано:

Длина пробирки $l = 80$ см
Глубина погружения открытого конца $h_{погр} = l/2$

$l = 0,8$ м
$h_{погр} = 0,4$ м

Найти:

$\Delta h$ - разность уровней воды в пробирке и сосуде.

Решение:

Процесс сжатия воздуха в пробирке можно считать изотермическим, так как он происходит достаточно медленно, и температура воздуха успевает сравняться с температурой окружающей воды. Следовательно, к газу в пробирке применим закон Бойля-Мариотта.

1. Начальное состояние (до погружения):
Давление воздуха в пробирке равно атмосферному: $p_1 = p_a$.
Объем воздуха равен объему пробирки: $V_1 = S \cdot l$, где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения пробирки.

2. Конечное состояние (после погружения):
Вода входит в пробирку на высоту $\text{x}$, сжимая воздух. Объем воздуха становится $V_2 = S \cdot (l - x)$.
Давление воздуха в пробирке становится $p_2$.

Согласно закону Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

$p_a \cdot S \cdot l = p_2 \cdot S \cdot (l - x)$

$p_a \cdot l = p_2 (l - x)$ (1)

Давление $p_2$ сжатого воздуха уравновешивается давлением столба воды и атмосферным давлением. Уровень воды в пробирке находится на глубине $\Delta h$ относительно уровня воды в сосуде. Эту глубину можно выразить как разность между глубиной погружения открытого конца пробирки $(l/2)$ и высотой столба воды в ней $(x)$:

$\Delta h = \frac{l}{2} - x$

Давление на этой глубине равно:

$p_2 = p_a + \rh°g \Delta h = p_a + \rh°g (\frac{l}{2} - x)$ (2)

где $\rho$ — плотность воды, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Подставим выражение (2) в уравнение (1):

$p_a l = (p_a + \rh°g (\frac{l}{2} - x)) (l - x)$

Для удобства вычислений выразим атмосферное давление $p_a$ через высоту эквивалентного столба воды $\text{H}$: $p_a = \rh°g H$. При нормальных условиях $H \approx 10,3$ м.

$\rh°g H l = (\rh°g H + \rh°g (\frac{l}{2} - x)) (l - x)$

Сократим обе части на $\rh°g$:

$H l = (H + \frac{l}{2} - x) (l - x)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$Hl = Hl - Hx + \frac{l^2}{2} - \frac{lx}{2} - lx + x^2$

$0 = x^2 - (H + \frac{3l}{2})x + \frac{l^2}{2}$

Подставим числовые значения в системе СИ ($l = 0,8$ м, $H = 10,3$ м):

$x^2 - (10,3 + \frac{3 \cdot 0,8}{2})x + \frac{0,8^2}{2} = 0$

$x^2 - (10,3 + 1,2)x + 0,32 = 0$

$x^2 - 11,5x + 0,32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-11,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,32 = 132,25 - 1,28 = 130,97$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11,5 \pm \sqrt{130,97}}{2} \approx \frac{11,5 \pm 11,44}{2}$

Получаем два корня: $x_1 \approx 11,47$ м и $x_2 \approx 0,03$ м.

Физический смысл имеет только второй корень, так как высота столба воды $\text{x}$ не может превышать длину пробирки $l=0,8$ м. Итак, $x \approx 0,03$ м.

Теперь найдем искомую разность уровней:

$\Delta h = \frac{l}{2} - x \approx 0,4$ м $- 0,03$ м $= 0,37$ м.

Ответ: разность уровней воды в пробирке и сосуде составляет примерно 37 см.