Номер 459, страница 63, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Взаимные превращения жидкостей и газов. Влажность - номер 459, страница 63.

Условие.

459. [905] Вычислите отношение массы сухого воздуха и массы воздуха с влажностью 70 % при температуре $20 \text{ °C}$ и атмосферном давлении $1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Молярная масса сухого воздуха $0,029 \text{ кг/моль}$. Объём сухого и объём влажного воздуха равны $1 \text{ м}^3$.

Решение.

Дано:

Относительная влажность воздуха $ \phi = 70\% $

Температура $ t = 20^\circ C $

Атмосферное давление $ p_{атм} = 1,013 \cdot 10^5 $ Па

Молярная масса сухого воздуха $ M_{сух} = 0,029 $ кг/моль

Объём сухого и влажного воздуха $ V = 1 $ м³

Молярная масса водяного пара (H₂O) $ M_{пар} = 0,018 $ кг/моль

Давление насыщенного водяного пара при $ 20^\circ C $ $ p_{нас} \approx 2330 $ Па (табличное значение)

Универсальная газовая постоянная $ R \approx 8,31 $ Дж/(моль·К)

$ \phi = 70\% = 0,7 $
$ T = t + 273,15 \approx 20 + 273 = 293 $ К

Найти:

$ \frac{m_{сух}}{m_{вл}} $

Решение:

Массу газа можно выразить из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$ pV = \frac{m}{M}RT \implies m = \frac{pVM}{RT} $

1. Вычислим массу сухого воздуха $ m_{сух} $. Для сухого воздуха давление равно атмосферному $ p_{атм} $.

$ m_{сух} = \frac{p_{атм} V M_{сух}}{RT} $

2. Влажный воздух представляет собой смесь сухого воздуха и водяного пара. Его масса $ m_{вл} $ равна сумме масс сухого воздуха $ m'_{сух} $ и водяного пара $ m_{пар} $, находящихся в заданном объёме:

$ m_{вл} = m'_{сух} + m_{пар} $

Согласно закону Дальтона, полное атмосферное давление равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $ p'_{сух} $ и водяного пара $ p_{пар} $:

$ p_{атм} = p'_{сух} + p_{пар} $

Парциальное давление водяного пара $ p_{пар} $ можно найти из формулы для относительной влажности:

$ \phi = \frac{p_{пар}}{p_{нас}} \implies p_{пар} = \phi \cdot p_{нас} $

Отсюда находим парциальное давление сухого воздуха в смеси:

$ p'_{сух} = p_{атм} - p_{пар} = p_{атм} - \phi \cdot p_{нас} $

Теперь можем записать выражения для масс компонентов влажного воздуха, используя их парциальные давления:

$ m'_{сух} = \frac{p'_{сух} V M_{сух}}{RT} = \frac{(p_{атм} - \phi \cdot p_{нас}) V M_{сух}}{RT} $

$ m_{пар} = \frac{p_{пар} V M_{пар}}{RT} = \frac{\phi \cdot p_{нас} V M_{пар}}{RT} $

Сложив массы компонентов, получим массу влажного воздуха:

$ m_{вл} = m'_{сух} + m_{пар} = \frac{(p_{атм} - \phi \cdot p_{нас}) V M_{сух}}{RT} + \frac{\phi \cdot p_{нас} V M_{пар}}{RT} $

Вынесем общий множитель $ \frac{V}{RT} $ за скобки:

$ m_{вл} = \frac{V}{RT} \left( (p_{атм} - \phi \cdot p_{нас})M_{сух} + \phi \cdot p_{нас} M_{пар} \right) $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$ m_{вл} = \frac{V}{RT} \left( p_{атм}M_{сух} - \phi \cdot p_{нас} \cdot M_{сух} + \phi \cdot p_{нас} \cdot M_{пар} \right) $

$ m_{вл} = \frac{V}{RT} \left( p_{атм}M_{сух} - \phi \cdot p_{нас} (M_{сух} - M_{пар}) \right) $

3. Найдём искомое отношение масс $ \frac{m_{сух}}{m_{вл}} $, разделив полученные выражения:

$ \frac{m_{сух}}{m_{вл}} = \frac{\frac{p_{атм} V M_{сух}}{RT}}{\frac{V}{RT} \left( p_{атм}M_{сух} - \phi \cdot p_{нас} (M_{сух} - M_{пар}) \right)} $

Сократив общий множитель $ \frac{V}{RT} $, получим конечную формулу:

$ \frac{m_{сух}}{m_{вл}} = \frac{p_{атм} M_{сух}}{p_{атм}M_{сух} - \phi \cdot p_{нас} (M_{сух} - M_{пар})} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ \frac{m_{сух}}{m_{вл}} = \frac{1,013 \cdot 10^5 \cdot 0,029}{1,013 \cdot 10^5 \cdot 0,029 - 0,7 \cdot 2330 \cdot (0,029 - 0,018)} $

$ \frac{m_{сух}}{m_{вл}} = \frac{2937,7}{2937,7 - 1631 \cdot 0,011} = \frac{2937,7}{2937,7 - 17,941} = \frac{2937,7}{2919,759} \approx 1,006 $

Ответ: отношение массы сухого воздуха к массе влажного воздуха составляет примерно 1,006.