Номер 460, страница 63, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Взаимные превращения жидкостей и газов. Влажность - номер 460, страница 63.

Условие.

460. [910] Во сколько раз плотность сухого воздуха больше плотности водяного пара, содержащегося в воздухе при относительной влажности 90 %? Атмосферное давление равно $10^5 \text{ Па}$. Температура воздуха равна $19 \text{ °C}$.

Решение.

Дано:

Относительная влажность, $\phi = 90\% = 0.9$

Атмосферное давление, $P_{атм} = 10^5$ Па

Температура воздуха, $t = 19$ °C

Абсолютная температура, $T = 19 + 273.15 \approx 292.15$ К

Найти:

Отношение плотности сухого воздуха к плотности водяного пара, $\frac{\rho_{сух}}{\rho_{пара}}$

Решение:

Плотность газа можно выразить через уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона): $P V = \frac{m}{M} R T$.

Поскольку плотность $\rh°= \frac{m}{V}$, уравнение можно переписать как $P = \rh°\frac{R T}{M}$, откуда получаем формулу для плотности:

$\rh°= \frac{P M}{R T}$

где $\text{P}$ – давление, $\text{M}$ – молярная масса, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Запишем выражения для плотности сухого воздуха ($\rho_{сух}$) и водяного пара ($\rho_{пара}$), находящихся при одинаковой температуре $\text{T}$:

$\rho_{сух} = \frac{P_{сух} M_{воздуха}}{R T}$

$\rho_{пара} = \frac{P_{пара} M_{воды}}{R T}$

Здесь $P_{сух}$ и $P_{пара}$ – парциальные давления сухого воздуха и водяного пара, $M_{воздуха}$ и $M_{воды}$ – их молярные массы. Примем молярную массу сухого воздуха $M_{воздуха} \approx 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, а молярную массу воды $M_{воды} = 18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.

Найдем искомое отношение плотностей, разделив одно выражение на другое:

$\frac{\rho_{сух}}{\rho_{пара}} = \frac{\frac{P_{сух} M_{воздуха}}{R T}}{\frac{P_{пара} M_{воды}}{R T}} = \frac{P_{сух}}{P_{пара}} \cdot \frac{M_{воздуха}}{M_{воды}}$

Парциальное давление водяного пара $P_{пара}$ найдем из определения относительной влажности:

$\phi = \frac{P_{пара}}{P_{н.п.}}$

где $P_{н.п.}$ – давление насыщенного водяного пара при данной температуре. Из справочных таблиц, при температуре $t = 19$ °C давление насыщенного водяного пара $P_{н.п.} \approx 2197$ Па.

Тогда парциальное давление водяного пара:

$P_{пара} = \phi \cdot P_{н.п.} = 0.9 \cdot 2197 \text{ Па} = 1977.3$ Па

По закону Дальтона, общее атмосферное давление $P_{атм}$ равно сумме парциальных давлений сухого воздуха и водяного пара:

$P_{атм} = P_{сух} + P_{пара}$

Отсюда найдем парциальное давление сухого воздуха:

$P_{сух} = P_{атм} - P_{пара} = 10^5 \text{ Па} - 1977.3 \text{ Па} = 98022.7$ Па

Теперь можем подставить все найденные значения в формулу для отношения плотностей:

$\frac{\rho_{сух}}{\rho_{пара}} = \frac{98022.7 \text{ Па}}{1977.3 \text{ Па}} \cdot \frac{29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{18 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \approx 49.57 \cdot 1.611 \approx 79.86$

Ответ: Плотность сухого воздуха больше плотности водяного пара примерно в 80 раз.