Номер 978, страница 134, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Световые кванты. Фотоэффект. Фотоны. Корпускулярно-волновой дуализм - номер 978, страница 134.

Условие.

978. [821] Металл освещается светом с длиной волны 0,25 мкм. Определите максимальный импульс, передаваемый металлу при вылете каждого электрона. Красная граница фотоэффекта 0,28 мкм. Импульсом фотона можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Длина волны падающего света $ \lambda = 0,25 $ мкм
Красная граница фотоэффекта $ \lambda_{кр} = 0,28 $ мкм

$ \lambda = 0,25 \cdot 10^{-6} $ м
$ \lambda_{кр} = 0,28 \cdot 10^{-6} $ м

Найти:

Максимальный импульс, передаваемый металлу, $ p_{мет} $ - ?

Решение:

При вылете электрона из металла в результате фотоэффекта, система, состоящая из фотона и атома, превращается в систему из атома (иона) и электрона. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия. В векторной форме это выглядит так:

$ \vec{p}_{ф} = \vec{p}_{мет} + \vec{p}_{e} $

Здесь $ \vec{p}_{ф} $ — импульс поглощенного фотона, $ \vec{p}_{мет} $ — импульс, полученный металлом (отдача атома), а $ \vec{p}_{e} $ — импульс вылетевшего электрона.

По условию задачи, импульсом фотона можно пренебречь ($ \vec{p}_{ф} \approx 0 $). Тогда закон сохранения импульса упрощается:

$ 0 \approx \vec{p}_{мет} + \vec{p}_{e} \implies \vec{p}_{мет} \approx - \vec{p}_{e} $

Это означает, что импульс, передаваемый металлу, по модулю равен импульсу вылетевшего электрона: $ p_{мет} = p_{e} $.

Максимальный импульс будет передан металлу, когда электрон вылетает с максимальной скоростью, а значит, обладает максимальным импульсом $ p_{e, max} $. Этот импульс связан с максимальной кинетической энергией электрона $ E_{к, max} $ соотношением:

$ p_{e, max} = \sqrt{2m_e E_{к, max}} $

где $ m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} $ кг — масса электрона.

Максимальную кинетическую энергию электрона найдем из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

$ E_ф = A + E_{к, max} $

где $ E_ф = \frac{hc}{\lambda} $ — энергия падающего фотона, а $ A = \frac{hc}{\lambda_{кр}} $ — работа выхода электрона из металла.

Выразим максимальную кинетическую энергию:

$ E_{к, max} = E_ф - A = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{кр}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) $

Здесь $ h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} $ Дж·с — постоянная Планка, а $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с — скорость света в вакууме.

Подставим выражение для энергии в формулу для импульса, чтобы найти искомый максимальный импульс, передаваемый металлу:

$ p_{мет} = \sqrt{2m_e hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right)} $

Произведем вычисления:

$ p_{мет} = \sqrt{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \left( \frac{1}{0,25 \cdot 10^{-6} \text{ м}} - \frac{1}{0,28 \cdot 10^{-6} \text{ м}} \right)} $

$ p_{мет} = \sqrt{3,624 \cdot 10^{-56} \left( 4 \cdot 10^6 - 3,5714 \cdot 10^6 \right) \text{ м}^{-1}} $

$ p_{мет} = \sqrt{3,624 \cdot 10^{-56} \cdot 0,4286 \cdot 10^6} \text{ кг·м/с} $

$ p_{мет} = \sqrt{1,553 \cdot 10^{-50}} \text{ кг·м/с} \approx 3,94 \cdot 10^{-25} \text{ кг·м/с} $

Ответ: максимальный импульс, передаваемый металлу, равен $ 3,94 \cdot 10^{-25} $ кг·м/с.