Номер 979, страница 134, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Световые кванты. Фотоэффект. Фотоны. Корпускулярно-волновой дуализм - номер 979, страница 134.

Условие.

979. [822] Определите длину волны де Бройля для электрона, ускоренного разностью потенциалов 1000 В.

Решение.

Дано:

Разность потенциалов, $U = 1000$ В
Масса электрона, $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг
Заряд электрона, $e = 1.602 \times 10^{-19}$ Кл
Постоянная Планка, $h = 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Длину волны де Бройля, $\lambda$ - ?

Решение:

Длина волны де Бройля $\lambda$ для любой частицы определяется через ее импульс $\text{p}$ по формуле:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $\text{h}$ — постоянная Планка.

Электрон, изначально покоившийся, ускоряется электрическим полем и приобретает кинетическую энергию $\text{K}$, равную работе этого поля:

$K = eU$

где $\text{e}$ — заряд электрона, а $\text{U}$ — ускоряющая разность потенциалов.

Связь между кинетической энергией и импульсом для частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью (значительно меньшей скорости света), выражается формулой:

$K = \frac{p^2}{2m_e}$

Отсюда можно выразить импульс:

$p = \sqrt{2m_eK}$

Подставим в эту формулу выражение для кинетической энергии $K=eU$:

$p = \sqrt{2m_eeU}$

Теперь подставим полученное выражение для импульса в исходную формулу для длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_eeU}}$

Перед вычислением убедимся, что можно использовать нерелятивистские формулы. Кинетическая энергия электрона $K = eU = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 1000 \text{ В} = 1.602 \times 10^{-16} \text{ Дж}$. Энергия покоя электрона $E_0 = m_e c^2 \approx 8.2 \times 10^{-14} \text{ Дж}$. Так как $K \ll E_0$, релятивистские эффекты пренебрежимо малы.

Подставим числовые значения в выведенную формулу:

$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 1000 \text{ В}}}$

$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.919 \times 10^{-46}}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.708 \times 10^{-23}} \approx 3.88 \times 10^{-11} \text{ м}$

Результат можно также выразить в пикометрах (1 пм = $10^{-12}$ м):

$\lambda \approx 38.8 \text{ пм}$

Ответ: $3.88 \times 10^{-11}$ м или 38.8 пм.