Номер 2, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Уравнение прямой вида у = kx + l. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 2, страница 174.

Условие.

Разберите фрагмент 2 и выполните задания:

1) Объясните, почему прямая, которая задаётся уравнением вида $y = kx$, проходит через начало координат. Приведите пример уравнений двух прямых, одна из которых проходит через начало координат, а другая нет.

2) Покажите на рисунке, как расположена в координатной плоскости прямая $y = kx$ при $k > 0$ и при $k < 0$.

3) Покажите схематически, как в координатной плоскости располагаются по отношению друг к другу прямые $y = 1,3x$ и $y = 5,7x$.

Решение 3.

Решение 4.

1) Прямая, которая задаётся уравнением вида $y = kx$, представляет собой прямую пропорциональность. Чтобы проверить, проходит ли график через определённую точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение. Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$.

Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = kx$:

$0 = k \cdot 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения коэффициента $k$. Это доказывает, что точка $(0, 0)$ всегда является решением уравнения, а значит, прямая $y = kx$ всегда проходит через начало координат.

Примеры уравнений:

• Пример прямой, проходящей через начало координат (уравнение вида $y=kx$): $y = 2x$.
• Пример прямой, не проходящей через начало координат (уравнение общего вида $y=kx+b$, где $b \neq 0$): $y = 2x + 3$. Если подставить в него координаты начала координат, получим неверное равенство $0 = 2 \cdot 0 + 3$, или $0 = 3$.

Ответ: Прямая вида $y=kx$ проходит через начало координат, так как при подстановке координат точки $(0, 0)$ в уравнение получается верное равенство $0=0$. Пример прямой, проходящей через начало координат: $y = 2x$. Пример прямой, не проходящей через начало координат: $y = 2x + 3$.

2) Расположение прямой $y = kx$ в координатной плоскости определяется знаком её углового коэффициента $k$.

• При $k > 0$ функция является возрастающей. Прямая проходит через первую (I) и третью (III) координатные четверти. Слева направо график "поднимается".
• При $k < 0$ функция является убывающей. Прямая проходит через вторую (II) и четвертую (IV) координатные четверти. Слева направо график "опускается".

На рисунке это выглядит следующим образом:

Ответ: При $k > 0$ прямая $y=kx$ проходит через I и III координатные четверти. При $k < 0$ — через II и IV координатные четверти, как показано на рисунке.

3) Рассмотрим прямые $y = 1,3x$ и $y = 5,7x$.

Обе прямые заданы уравнением вида $y = kx$, следовательно, обе проходят через начало координат. Угловые коэффициенты обеих прямых положительны ($k_1 = 1,3 > 0$ и $k_2 = 5,7 > 0$), поэтому графики обеих функций расположены в I и III координатных четвертях.

Угловой коэффициент $k$ определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox). Чем больше абсолютное значение коэффициента $k$, тем "круче" идёт прямая, то есть тем ближе она прижимается к оси ординат (Oy).

Сравнивая коэффициенты, видим, что $5,7 > 1,3$. Это означает, что прямая $y = 5,7x$ имеет больший угол наклона и расположена круче (ближе к оси Oy), чем прямая $y = 1,3x$.

Схематическое расположение прямых показано на рисунке:

Ответ: Обе прямые проходят через начало координат и расположены в I и III четвертях. Прямая $y=5,7x$ является более крутой и расположена ближе к оси Oy, чем прямая $y=1,3x$, так как её угловой коэффициент больше ($5,7 > 1,3$).