Номер 4.26, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.26, страница 170.

Условие.

4.26 a) Найдите точки первой координатной четверти с целыми координатами, которые принадлежат прямой $x + 3y = 12$. Дайте ответ, не выполняя построения.

б) Сколько точек второй координатной четверти с целыми координатами принадлежит прямой $3x - 4y + 48 = 0$? Дайте ответ, не выполняя построения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Требуется найти точки с целыми координатами $(x, y)$, которые принадлежат прямой $x + 3y = 12$ и расположены в первой координатной четверти.

Для точек в первой координатной четверти обе координаты должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$. По условию, $x$ и $y$ также являются целыми числами.

Из уравнения прямой выразим переменную $x$: $x = 12 - 3y$.

Поскольку $x$ должен быть целым, а 12 и 3 — целые числа, то $y$ также должен быть целым числом, чтобы выражение $12 - 3y$ было целым.

Применим к выражению для $x$ условия для первой четверти:

1. $y > 0$. Так как $y$ — целое, то наименьшее возможное значение $y=1$.

2. $x > 0$, что означает $12 - 3y > 0$. Решим это неравенство: $12 > 3y$, или $y < 4$.

Объединяя условия для $y$, получаем, что $y$ должен быть целым числом в интервале $0 < y < 4$. Это значения $y=1, 2, 3$.

Теперь для каждого возможного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:
- Если $y = 1$, то $x = 12 - 3(1) = 9$. Точка: $(9, 1)$.
- Если $y = 2$, то $x = 12 - 3(2) = 6$. Точка: $(6, 2)$.
- Если $y = 3$, то $x = 12 - 3(3) = 3$. Точка: $(3, 3)$.

Если взять следующее целое значение $y=4$, то $x = 12 - 3(4) = 0$, и точка $(0, 4)$ окажется на оси OY, то есть не в первой четверти.

Таким образом, существует три точки, удовлетворяющие всем условиям.

Ответ: (9, 1), (6, 2), (3, 3).

б)

Требуется найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые принадлежат прямой $3x - 4y + 48 = 0$ и расположены во второй координатной четверти.

Для точек во второй координатной четверти абсцисса должна быть отрицательной, а ордината — положительной: $x < 0$ и $y > 0$. Координаты $x$ и $y$ должны быть целыми.

Из уравнения прямой выразим переменную $y$:
$3x - 4y + 48 = 0$
$4y = 3x + 48$
$y = \frac{3x + 48}{4} = \frac{3}{4}x + 12$

Для того чтобы $y$ было целым числом, необходимо, чтобы $\frac{3}{4}x$ было целым (так как 12 — целое). Поскольку 3 и 4 — взаимно простые числа, $x$ должен быть кратен 4.

Теперь применим условия для второй четверти:

1. $x < 0$. Учитывая, что $x$ кратен 4, возможные значения для $x$: $-4, -8, -12, \dots$

2. $y > 0$, что означает $\frac{3}{4}x + 12 > 0$. Решим это неравенство:
$\frac{3}{4}x > -12$
$3x > -48$
$x > -16$

Итак, мы ищем целые значения $x$, которые удовлетворяют трем условиям одновременно: $x < 0$, $x > -16$ и $x$ кратен 4.

Этим условиям соответствуют следующие значения $x$: -12, -8, -4.

Каждому из этих трех значений $x$ соответствует одно целое значение $y$, и полученная точка будет лежать во второй четверти. Всего таких значений $x$ три.

Следовательно, на прямой находится ровно 3 точки с целыми координатами во второй четверти.

Ответ: 3.