Номер 4.27, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.27, страница 170.

Условие.

4.27 Окружность задана уравнением $x^2 + y^2 = 9$. Определите, какие из данных точек лежат на этой окружности; внутри окружности; вне окружности: A(1; $2\sqrt{2}$), B($-\sqrt{3}$; 2), C(2,5; 2), D($-\sqrt{5}$; -2), E(-1; 2,5), F(2; $-\sqrt{6}$).

Решение 1.

Решение 4.

Уравнение окружности с центром в начале координат $(0;0)$ и радиусом $R$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Для заданной окружности $x^2 + y^2 = 9$ радиус в квадрате равен $R^2 = 9$.

Чтобы определить положение точки $(x_0; y_0)$ относительно окружности, необходимо подставить её координаты в левую часть уравнения, $x_0^2 + y_0^2$, и сравнить полученное значение с $9$:

• Если $x_0^2 + y_0^2 = 9$, точка лежит на окружности.
• Если $x_0^2 + y_0^2 < 9$, точка лежит внутри окружности.
• Если $x_0^2 + y_0^2 > 9$, точка лежит вне окружности.

Проверим каждую из данных точек и сгруппируем их.

на этой окружности

Ищем точки, для которых выполняется равенство $x^2 + y^2 = 9$.
Для точки $A(1; 2\sqrt{2})$: $1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$. Так как $9 = 9$, точка лежит на окружности.
Для точки $D(-\sqrt{5}; -2)$: $(-\sqrt{5})^2 + (-2)^2 = 5 + 4 = 9$. Так как $9 = 9$, точка лежит на окружности.
Ответ: На окружности лежат точки $A(1; 2\sqrt{2})$ и $D(-\sqrt{5}; -2)$.

внутри окружности

Ищем точки, для которых выполняется неравенство $x^2 + y^2 < 9$.
Для точки $B(-\sqrt{3}; 2)$: $(-\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$. Так как $7 < 9$, точка лежит внутри окружности.
Для точки $E(-1; 2,5)$: $(-1)^2 + (2.5)^2 = 1 + 6.25 = 7.25$. Так как $7.25 < 9$, точка лежит внутри окружности.
Ответ: Внутри окружности лежат точки $B(-\sqrt{3}; 2)$ и $E(-1; 2,5)$.

вне окружности

Ищем точки, для которых выполняется неравенство $x^2 + y^2 > 9$.
Для точки $C(2,5; 2)$: $(2.5)^2 + 2^2 = 6.25 + 4 = 10.25$. Так как $10.25 > 9$, точка лежит вне окружности.
Для точки $F(2; -\sqrt{6})$: $2^2 + (-\sqrt{6})^2 = 4 + 6 = 10$. Так как $10 > 9$, точка лежит вне окружности.
Ответ: Вне окружности лежат точки $C(2,5; 2)$ и $F(2; -\sqrt{6})$.