Номер 4.28, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.28, страница 170.

Условие.

4.28 Линия, изображённая на рисунке 4.12, является эллипсом.

Уравнение эллипса можно записать в виде $x^2/a + y^2/b = 1$, где $a$ и $b$ — положительные числа и $a \ge b$.

1) Найдите координаты точек пересечения с осями координат эллипса, заданного уравнением $x^2/25 + y^2/16 = 1$.

2) Определите ординаты точек эллипса $x^2/25 + y^2/16 = 1$, абсциссы которых равны 1.

3) Постройте эллипс, заданный уравнением $x^2/25 + y^2/16 = 1$.

Рис. 4.12

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Найдите координаты точек пересечения с осями координат эллипса, заданного уравнением $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Чтобы найти точки пересечения эллипса с осью абсцисс (осью Ox), мы принимаем $y=0$ и подставляем это значение в уравнение эллипса:

$\frac{x^2}{25} + \frac{0^2}{16} = 1$

$\frac{x^2}{25} = 1$

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x = \pm 5$

Таким образом, эллипс пересекает ось Ox в точках с координатами $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Чтобы найти точки пересечения эллипса с осью ординат (осью Oy), мы принимаем $x=0$ и подставляем это значение в уравнение:

$\frac{0^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{y^2}{16} = 1$

$y^2 = 16$

$y = \pm\sqrt{16}$

$y = \pm 4$

Таким образом, эллипс пересекает ось Oy в точках с координатами $(0, -4)$ и $(0, 4)$.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями координат: $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$.

2) Определите ординаты точек эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, абсциссы которых равны 1.

Абсцисса — это координата $x$. По условию, $x=1$. Подставим это значение в уравнение эллипса, чтобы найти соответствующие ординаты (координаты $y$):

$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{1}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

Перенесем член с дробью $\frac{1}{25}$ в правую часть уравнения:

$\frac{y^2}{16} = 1 - \frac{1}{25}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{y^2}{16} = \frac{25-1}{25} = \frac{24}{25}$

Теперь выразим $y^2$, умножив обе части на 16:

$y^2 = 16 \cdot \frac{24}{25} = \frac{384}{25}$

Чтобы найти $y$, извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{\frac{384}{25}} = \pm\frac{\sqrt{384}}{\sqrt{25}} = \pm\frac{\sqrt{64 \cdot 6}}{5}$

$y = \pm\frac{8\sqrt{6}}{5}$

Ответ: Ординаты точек равны $\frac{8\sqrt{6}}{5}$ и $-\frac{8\sqrt{6}}{5}$.

3) Постройте эллипс, заданный уравнением $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Данное уравнение является каноническим уравнением эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, где центр эллипса находится в начале координат $(0,0)$.

Из уравнения находим квадраты полуосей: $a^2=25$ и $b^2=16$.

Отсюда, длины полуосей равны:

Большая полуось (вдоль оси Ox): $a = \sqrt{25} = 5$.

Малая полуось (вдоль оси Oy): $b = \sqrt{16} = 4$.

Эллипс пересекает оси координат в точках, которые являются его вершинами: $(\pm a, 0)$ и $(0, \pm b)$. Для нашего эллипса это точки $(\pm 5, 0)$ и $(0, \pm 4)$, которые мы уже нашли в первом пункте.

Для построения графика необходимо:

1. Начертить оси координат Ox и Oy.
2. Отметить на осях вершины эллипса: $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 4)$ и $(0, -4)$.
3. Соединить отмеченные точки плавной кривой, симметричной относительно обеих осей.

График эллипса представлен ниже:

Ответ: Эллипс с центром в начале координат, пересекающий ось Ox в точках $(\pm5, 0)$ и ось Oy в точках $(0, \pm4)$. График представлен выше.