Номер 4.23, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.23, страница 169.

Условие.

4.23 В одной системе координат постройте прямые $x - 2y = 6$ и $x - 2y = -1$. Объясните, почему эти прямые не имеют общей точки.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Построение прямых $x - 2y = 6$ и $x - 2y = -1$

Для построения графика линейной функции, которой является прямая, достаточно найти координаты двух любых ее точек. Найдем эти точки для каждого уравнения.

Для прямой $x - 2y = 6$:

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), для чего подставим в уравнение $x=0$:

$0 - 2y = 6 \implies -2y = 6 \implies y = -3$.

Получили первую точку с координатами $(0, -3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), для чего подставим в уравнение $y=0$:

$x - 2(0) = 6 \implies x = 6$.

Получили вторую точку с координатами $(6, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$, мы получим график первого уравнения.

Для прямой $x - 2y = -1$:

1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$:

$0 - 2y = -1 \implies -2y = -1 \implies y = \frac{1}{2}$.

Получили первую точку с координатами $(0, \frac{1}{2})$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX, подставив $y=0$:

$x - 2(0) = -1 \implies x = -1$.

Получили вторую точку с координатами $(-1, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, \frac{1}{2})$ и $(-1, 0)$, мы получим график второго уравнения.

Ответ: Прямая $x - 2y = 6$ строится по точкам с координатами $(0, -3)$ и $(6, 0)$. Прямая $x - 2y = -1$ строится по точкам с координатами $(0, \frac{1}{2})$ и $(-1, 0)$.

Объяснение, почему эти прямые не имеют общей точки

Существует два основных способа доказать, что данные прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Способ 1. Сравнение угловых коэффициентов.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью OY.

Для уравнения $x - 2y = 6$:
$-2y = -x + 6$
$y = \frac{1}{2}x - 3$
Здесь угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$, а смещение $b_1 = -3$.

Для уравнения $x - 2y = -1$:
$-2y = -x - 1$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$
Здесь угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$, а смещение $b_2 = \frac{1}{2}$.

Прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а смещения различны ($b_1 \neq b_2$). В нашем случае $k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$ и $b_1 \neq b_2$ (поскольку $-3 \neq \frac{1}{2}$). Следовательно, прямые параллельны и не совпадают, а значит, они никогда не пересекутся и не имеют общих точек.

Способ 2. Решение системы уравнений.

Общая точка двух прямых – это точка, координаты $(x, y)$ которой удовлетворяют обоим уравнениям. Таким образом, для нахождения общей точки нужно решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = 6 \\ x - 2y = -1 \end{cases} $$

Попробуем решить эту систему. Можно, например, вычесть второе уравнение из первого:

$(x - 2y) - (x - 2y) = 6 - (-1)$

$x - 2y - x + 2y = 6 + 1$

$0 = 7$

Мы получили неверное числовое равенство $0 = 7$, которое не зависит от переменных $x$ и $y$. Это означает, что система уравнений не имеет решений (является несовместной). Геометрически это и означает, что прямые не имеют точек пересечения.

Ответ: Прямые не имеют общей точки, потому что они параллельны. Это можно установить, сравнив их уравнения в виде $y=kx+b$: их угловые коэффициенты $k$ равны ($\frac{1}{2}$), а свободные члены $b$ различны ($-3$ и $\frac{1}{2}$). Также это доказывается тем, что система, составленная из уравнений этих прямых, не имеет решений (приводит к противоречию $0=7$).