Номер 4.19, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.19, страница 169.

Условие.

4.19 Постройте прямые в одной системе координат и определите координаты точки их пересечения. Проверьте результат подстановкой найденной пары чисел в уравнения:

a) $4x - 3y = 12$ и $2x + 2y = 1$;

б) $2x + y = 4$ и $7x - 2y = 3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $4x - 3y = 12$ и $2x + 2y = 1$

Для того чтобы построить прямые, найдем по две точки для каждой из них.

1. Прямая $4x - 3y = 12$. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 4x - 12$
$y = \frac{4}{3}x - 4$
Найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Точка $(0, -4)$.
- если $y = 0$, то $0 = \frac{4}{3}x - 4$, откуда $x = 3$. Точка $(3, 0)$.

2. Прямая $2x + 2y = 1$. Выразим $y$ через $x$:
$2y = 1 - 2x$
$y = -x + 0.5$
Найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = 0.5$. Точка $(0, 0.5)$.
- если $y = 0$, то $0 = -x + 0.5$, откуда $x = 0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

Построив прямые по этим точкам в одной системе координат, мы можем найти их точку пересечения. Чтобы найти точные координаты, решим систему уравнений аналитически:

$\begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases}$
Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $x$:
$4x + 4y = 2$
Вычтем из первого уравнения получившееся второе:
$(4x - 3y) - (4x + 4y) = 12 - 2$
$4x - 3y - 4x - 4y = 10$
$-7y = 10$
$y = -\frac{10}{7}$
Теперь подставим найденное значение $y$ в исходное второе уравнение $2x + 2y = 1$:
$2x + 2(-\frac{10}{7}) = 1$
$2x - \frac{20}{7} = 1$
$2x = 1 + \frac{20}{7} = \frac{7+20}{7} = \frac{27}{7}$
$x = \frac{27}{14}$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{27}{14}, -\frac{10}{7})$.

Проверим результат, подставив найденные значения в оба уравнения.
Для $4x - 3y = 12$:
$4(\frac{27}{14}) - 3(-\frac{10}{7}) = \frac{2 \cdot 27}{7} + \frac{30}{7} = \frac{54 + 30}{7} = \frac{84}{7} = 12$.
$12 = 12$. Верно.
Для $2x + 2y = 1$:
$2(\frac{27}{14}) + 2(-\frac{10}{7}) = \frac{27}{7} - \frac{20}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
$1 = 1$. Верно.

Ответ: $(\frac{27}{14}, -\frac{10}{7})$

б) $2x + y = 4$ и $7x - 2y = 3$

Сначала найдем по две точки для каждой прямой, чтобы построить их графики.

1. Прямая $2x + y = 4$. Выразим $y$ через $x$:
$y = 4 - 2x$
Найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
- если $x = 2$, то $y = 4 - 2(2) = 0$. Точка $(2, 0)$.

2. Прямая $7x - 2y = 3$. Выразим $y$ через $x$:
$2y = 7x - 3$
$y = \frac{7}{2}x - \frac{3}{2}$
Найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = \frac{7}{2}(1) - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(1, 2)$.
- если $x = 3$, то $y = \frac{7}{2}(3) - \frac{3}{2} = \frac{21-3}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Точка $(3, 9)$.

Построив графики в одной системе координат, можно определить точку пересечения. Для нахождения точных координат решим систему уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 7x - 2y = 3 \end{cases}$
Из первого уравнения легко выразить $y$:
$y = 4 - 2x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$7x - 2(4 - 2x) = 3$
$7x - 8 + 4x = 3$
$11x = 11$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=1$ в выражение $y = 4 - 2x$:
$y = 4 - 2(1) = 2$
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(1, 2)$.

Проверим результат подстановкой.
Для $2x + y = 4$:
$2(1) + 2 = 2 + 2 = 4$.
$4 = 4$. Верно.
Для $7x - 2y = 3$:
$7(1) - 2(2) = 7 - 4 = 3$.
$3 = 3$. Верно.

Ответ: $(1, 2)$