Номер 4.20, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.20, страница 169.

Условие.

4.20 Определите, проходит ли окружность $x^2 + y^2 = 25$, изображённая на рисунке 4.9, через точку:

a) A(0; -5);

б) B(-3; 4);

в) C(4; -3);

г) D(2; 4,5).

Покажите на рисунке положение каждой из этих точек в координатной плоскости.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Уравнение окружности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где центр окружности находится в начале координат (0; 0), а $R$ — её радиус. В данном случае уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$. Отсюда следует, что центр окружности — точка O(0; 0), а ее радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Чтобы определить, проходит ли окружность через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки в уравнение окружности. Если полученное равенство будет верным, то точка лежит на окружности. Если значение выражения $x^2 + y^2$ будет меньше 25, точка находится внутри окружности, а если больше 25 — снаружи.

а) A(0; –5)

Подставим координаты точки A в левую часть уравнения:
$x^2 + y^2 = 0^2 + (-5)^2 = 0 + 25 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, равенство верно. Точка A лежит на окружности. В координатной плоскости эта точка расположена на отрицательной части оси Oy.
Ответ: проходит.

б) B(–3; 4)

Подставим координаты точки B в левую часть уравнения:
$x^2 + y^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, равенство верно. Точка B лежит на окружности. В координатной плоскости эта точка расположена во второй координатной четверти.
Ответ: проходит.

в) C(4; –3)

Подставим координаты точки C в левую часть уравнения:
$x^2 + y^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, равенство верно. Точка C лежит на окружности. В координатной плоскости эта точка расположена в четвертой координатной четверти.
Ответ: проходит.

г) D(2; 4,5)

Подставим координаты точки D в левую часть уравнения:
$x^2 + y^2 = 2^2 + (4,5)^2 = 4 + 20,25 = 24,25$.
Поскольку $24,25 \neq 25$, равенство неверно. Так как $24,25 < 25$, точка D не лежит на окружности, а находится внутри нее. В координатной плоскости эта точка расположена в первой координатной четверти.
Ответ: не проходит.