Номер 4.22, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.22, страница 169.

Условие.

4.22 Постройте в одной и той же системе координат следующие прямые: $3x + 2y - 18 = 0$, $x + 2y - 13 = 0$, $3x - 15 = 0$ и $2y - 12 = 0$.

Определите координаты точек пересечения:

a) прямых $3x + 2y - 18 = 0$ и $2y - 12 = 0$;

b) прямых $x + 2y - 13 = 0$ и $3x - 15 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графиков прямых в одной системе координат, сначала найдем координаты двух точек для каждой прямой. Это позволит нам их начертить.

Прямая 1: $3x + 2y - 18 = 0$
Выразим $y$ через $x$:
$2y = 18 - 3x$
$y = 9 - 1.5x$
Найдем две точки. Если $x=0$, то $y = 9 - 1.5 \cdot 0 = 9$. Точка $(0, 9)$.
Если $y=0$, то $3x - 18 = 0$, $3x=18$, $x=6$. Точка $(6, 0)$.

Прямая 2: $x + 2y - 13 = 0$
Выразим $y$ через $x$:
$2y = 13 - x$
$y = 6.5 - 0.5x$
Найдем две точки. Если $x=1$, то $y = 6.5 - 0.5 \cdot 1 = 6$. Точка $(1, 6)$.
Если $x=5$, то $y = 6.5 - 0.5 \cdot 5 = 4$. Точка $(5, 4)$.

Прямая 3: $3x - 15 = 0$
Упростим уравнение: $3x = 15$, откуда $x = 5$.
Это вертикальная прямая, которая проходит через все точки с абсциссой $5$.

Прямая 4: $2y - 12 = 0$
Упростим уравнение: $2y = 12$, откуда $y = 6$.
Это горизонтальная прямая, которая проходит через все точки с ординатой $6$.

Теперь определим координаты точек пересечения, решив соответствующие системы уравнений.

а) Найдем точку пересечения прямых $3x + 2y - 18 = 0$ и $2y - 12 = 0$.

Составим и решим систему уравнений:
$$ \begin{cases} 3x + 2y - 18 = 0 \\ 2y - 12 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения сразу находим $y$:
$2y = 12$
$y = 6$
Теперь подставим это значение $y$ в первое уравнение:
$3x + 2(6) - 18 = 0$
$3x + 12 - 18 = 0$
$3x - 6 = 0$
$3x = 6$
$x = 2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2, 6)$.

Ответ: $(2, 6)$.

б) Найдем точку пересечения прямых $x + 2y - 13 = 0$ и $3x - 15 = 0$.

Составим и решим систему уравнений:
$$ \begin{cases} x + 2y - 13 = 0 \\ 3x - 15 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения сразу находим $x$:
$3x = 15$
$x = 5$
Теперь подставим это значение $x$ в первое уравнение:
$(5) + 2y - 13 = 0$
$2y - 8 = 0$
$2y = 8$
$y = 4$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(5, 4)$.

Ответ: $(5, 4)$.