Номер 4.29, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.29, страница 170.

Условие.

4.29 Графиком уравнения $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$ является кривая, изображённая на рисунке 4.13. Она называется кардиоидой (так как имеет форму сердца). Найдите координаты точек пересечения кардиоиды с осями координат.

Рис. 4.13

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения координат точек пересечения кардиоиды, заданной уравнением $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$, с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат.

Пересечение с осью абсцисс (Ox)

Точки, лежащие на оси Ox, имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение кривой:

$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0^2$

$(x^2)^2 = x^2$

$x^4 = x^2$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное уравнение:

$x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x^2 = 0$, что дает корень $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2 = 1$, что дает корни $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, мы получили три точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Пересечение с осью ординат (Oy)

Точки, лежащие на оси Oy, имеют абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение кривой:

$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$

$(y^2 + y)^2 = y^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, мы получаем два возможных равенства:

1) $y^2 + y = y$. Упрощая, получаем $y^2 = 0$, откуда $y = 0$.

2) $y^2 + y = -y$. Упрощая, получаем $y^2 + 2y = 0$, или $y(y + 2) = 0$. Отсюда $y = 0$ или $y = -2$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения с осью Oy: $(0, 0)$ и $(0, -2)$.

Объединяя все найденные уникальные точки, получаем полный список точек пересечения кардиоиды с осями координат.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, -2)$.