Номер 15, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 5. Функции - номер 15, страница 247.

Условие.

15 Какая из данных прямых имеет с гиперболой $y = -\frac{10}{x}$ единственную общую точку, расположенную в IV координатной четверти?

1) $y = -100x$

2) $y = 0,1x$

3) $y = 100$

4) $x = 0,1$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача состоит в том, чтобы найти, какая из предложенных прямых пересекает гиперболу $y = -\frac{10}{x}$ ровно в одной точке, и эта точка должна находиться в IV координатной четверти.

IV координатная четверть определяется условиями $x > 0$ и $y < 0$. Ветви данной гиперболы $y = -\frac{10}{x}$ расположены во II ($x<0, y>0$) и IV ($x>0, y<0$) координатных четвертях.

Рассмотрим каждый вариант, находя точки пересечения прямой и гиперболы.

1) y = -100x

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{10}{x} \\ y = -100x \end{cases} $ Приравниваем правые части: $-100x = -\frac{10}{x}$ $100x^2 = 10$ $x^2 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ Уравнение имеет два решения: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{10}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{10}}$. Это означает, что прямая имеет две точки пересечения с гиперболой, а по условию задачи точка должна быть единственной. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) y = 0,1x

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{10}{x} \\ y = 0,1x \end{cases} $ $0,1x = -\frac{10}{x}$ $0,1x^2 = -10$ $x^2 = -100$ Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, у прямой и гиперболы нет общих точек. Этот вариант не подходит.

3) y = 100

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{10}{x} \\ y = 100 \end{cases} $ $100 = -\frac{10}{x}$ $100x = -10$ $x = -0,1$ Существует единственная точка пересечения $(-0,1; 100)$. Проверим ее расположение: $x = -0,1 < 0$ и $y = 100 > 0$. Эта точка находится во II координатной четверти, а не в IV. Этот вариант не подходит.

4) x = 0,1

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{10}{x} \\ x = 0,1 \end{cases} $ Подставим $x = 0,1$ в уравнение гиперболы: $y = -\frac{10}{0,1} = -100$ Существует единственная точка пересечения $(0,1; -100)$. Проверим ее расположение: $x = 0,1 > 0$ и $y = -100 < 0$. Эта точка находится в IV координатной четверти. Таким образом, прямая $x=0,1$ имеет с гиперболой единственную общую точку, и эта точка расположена в IV четверти. Этот вариант полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 4