Номер 5, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1. Свойства числовых неравенств. Вопросы к параграфу. Глава 6. Неравенства - номер 5, страница 251.

Условие.

Даны неравенства $3 \le a \le 4$ и $5 \le b \le 6$. Оцените значение суммы $a + b$; значение произведения $ab$. Можно ли перемножать почленно неравенства одного знака с отрицательными числами? Приведите контрпример.

Решение 1.

Решение 4.

Оцените значение суммы a + b
Даны два неравенства: $3 \le a \le 4$ и $5 \le b \le 6$.
Чтобы оценить сумму $a + b$, мы можем сложить эти неравенства почленно, так как они одного знака. Сложение неравенств одного знака является корректной операцией.
Сложим левые, средние и правые части неравенств:
$3 + 5 \le a + b \le 4 + 6$
$8 \le a + b \le 10$
Таким образом, значение суммы $a + b$ находится в пределах от 8 до 10 включительно.
Ответ: $8 \le a + b \le 10$.

Оцените значение произведения ab
Даны те же неравенства: $3 \le a \le 4$ и $5 \le b \le 6$.
Поскольку все части обоих неравенств ($3, 4, 5, 6$) являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить. Это свойство справедливо для неравенств одного знака, все части которых неотрицательны.
Перемножим левые, средние и правые части неравенств:
$3 \times 5 \le a \times b \le 4 \times 6$
$15 \le ab \le 24$
Следовательно, значение произведения $ab$ находится в пределах от 15 до 24 включительно.
Ответ: $15 \le ab \le 24$.

Можно ли перемножать почленно неравенства одного знака с отрицательными числами? Приведите контрпример.
Нет, почленно перемножать неравенства одного знака, если их части являются отрицательными числами, в общем случае нельзя. Правило почленного умножения справедливо только для неравенств, все части которых неотрицательны. Проблема заключается в том, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Контрпример:
Рассмотрим два верных числовых неравенства, части которых отрицательны:
$-4 < -2$ (верно)
$-5 < -3$ (верно)
Если бы мы применили правило почленного умножения, мы бы получили:
$(-4) \times (-5) < (-2) \times (-3)$
$20 < 6$
Полученное неравенство является ложным. Это показывает, что почленное умножение неравенств с отрицательными частями может привести к неверному результату.
Ответ: Нет, нельзя. Контрпример: из верных неравенств $-4 < -2$ и $-5 < -3$ почленное умножение дает неверное неравенство $20 < 6$.