Номер 6.3, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1. Свойства числовых неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.3, страница 252.

Условие.

6.3 Можно ли сделать вывод о соотношении между числами $a$ и $c$, если известно, что:

a) $a > b, b = c$;

б) $a > b, b \le c$;

в) $a < b, c \ge b$;

г) $a \le b, b < c$;

д) $a = b, c \le b$;

е) $a \le b, c \ge b$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано: $a > b$ и $b = c$.

Поскольку $b$ и $c$ равны, мы можем подставить $c$ вместо $b$ в первое неравенство $a > b$. В результате получим $a > c$. Таким образом, можно сделать однозначный вывод о соотношении между $a$ и $c$.

Ответ: да, можно сделать вывод, что $a > c$.

б) Дано: $a > b$ и $b \le c$.

Из этих условий следует, что $a$ больше $b$, а $c$ больше или равно $b$. Это не позволяет однозначно сравнить $a$ и $c$. Чтобы это доказать, рассмотрим несколько примеров, удовлетворяющих заданным условиям:

• Пусть $b=2$, $a=4$, $c=3$. Тогда $a > b$ ( $4>2$ ) и $b \le c$ ( $2 \le 3$ ) – неверно, $c$ должно быть больше. Пусть $a=4, b=2, c=3$. $a>b$ (4>2), $b \le c$ (2<=3). В этом случае $a > c$ ( $4>3$ ).
• Пусть $b=2$, $a=4$, $c=4$. Тогда $a > b$ ( $4>2$ ) и $b \le c$ ( $2 \le 4$ ). В этом случае $a = c$.
• Пусть $b=2$, $a=4$, $c=5$. Тогда $a > b$ ( $4>2$ ) и $b \le c$ ( $2 \le 5$ ). В этом случае $a < c$ ( $4<5$ ).

Поскольку возможны все три варианта соотношений ($a>c$, $a=c$ и $a<c$), сделать однозначный вывод нельзя.

Ответ: нет, сделать однозначный вывод нельзя.

в) Дано: $a < b$ и $c \ge b$.

Вторую часть условия $c \ge b$ можно записать как $b \le c$. Объединив оба неравенства, получим цепочку: $a < b \le c$. Из свойства транзитивности неравенств следует, что если $a < b$ и $b \le c$, то $a < c$.

Ответ: да, можно сделать вывод, что $a < c$.

г) Дано: $a \le b$ и $b < c$.

Объединив оба неравенства, получим цепочку: $a \le b < c$. Из свойства транзитивности неравенств следует, что если $a \le b$ и $b < c$, то $a < c$.

Ответ: да, можно сделать вывод, что $a < c$.

д) Дано: $a = b$ и $c \le b$.

Поскольку $a$ и $b$ равны, мы можем подставить $a$ вместо $b$ во второе неравенство $c \le b$. В результате получим $c \le a$, что эквивалентно записи $a \ge c$.

Ответ: да, можно сделать вывод, что $a \ge c$.

е) Дано: $a \le b$ и $c \ge b$.

Вторую часть условия $c \ge b$ можно записать как $b \le c$. Объединив оба неравенства, получим цепочку: $a \le b \le c$. Из свойства транзитивности неравенств следует, что если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$.

Ответ: да, можно сделать вывод, что $a \le c$.