Номер 6.9, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1. Свойства числовых неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.9, страница 253.

Условие.

6.9 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

a) если $x > 2$ и $y > 10$, то $x + y > 12$; $x + y > 10$; $x + y > 20$;

б) если $x < \frac{1}{2}$ и $y < \frac{1}{2}$, то $x + y < 1$; $x + y < 0$; $x + y < 3?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

По условию даны два строгих неравенства: $x > 2$ и $y > 10$. Согласно свойству числовых неравенств, если $a > b$ и $c > d$, то $a+c > b+d$. Мы можем почленно сложить данные неравенства:

$x + y > 2 + 10$

$x + y > 12$

Это неравенство, которое гарантированно выполняется при заданных условиях. Теперь проанализируем каждое утверждение:

• Утверждение $x + y > 12$: Это утверждение полностью совпадает с результатом, полученным при сложении исходных неравенств. Следовательно, оно верно.
• Утверждение $x + y > 10$: Так как мы доказали, что сумма $x + y$ всегда больше 12, то из этого следует, что она всегда будет и больше 10 (поскольку любое число, большее 12, автоматически больше 10). Следовательно, это утверждение также верно.
• Утверждение $x + y > 20$: Это утверждение не всегда верно. Для опровержения достаточно привести контрпример. Возьмем значения $x$ и $y$, удовлетворяющие начальным условиям: например, $x = 3$ (поскольку $3 > 2$) и $y = 11$ (поскольку $11 > 10$). Тогда их сумма $x + y = 3 + 11 = 14$. Неравенство $14 > 20$ ложно. Таким образом, данное утверждение неверно.

Ответ: Верно, что $x + y > 12$ и $x + y > 10$; неверно, что $x + y > 20$.

б)

По условию даны два строгих неравенства: $x < \frac{1}{2}$ и $y < \frac{1}{2}$. Используя то же свойство сложения неравенств одного знака, сложим их почленно:

$x + y < \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$x + y < 1$

Это неравенство, которое гарантированно выполняется при заданных условиях. Теперь проанализируем каждое утверждение:

• Утверждение $x + y < 1$: Это утверждение является прямым следствием сложения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.
• Утверждение $x + y < 0$: Это утверждение не всегда верно. Приведем контрпример. Переменные $x$ и $y$ могут быть положительными. Например, пусть $x = 0.2$ (поскольку $0.2 < 0.5$) и $y = 0.3$ (поскольку $0.3 < 0.5$). Тогда их сумма $x + y = 0.2 + 0.3 = 0.5$. Неравенство $0.5 < 0$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно.
• Утверждение $x + y < 3$: Мы установили, что сумма $x + y$ всегда меньше 1. Любое число, которое меньше 1, очевидно, будет меньше и 3. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: Верно, что $x + y < 1$ и $x + y < 3$; неверно, что $x + y < 0$.