Номер 6.15, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1. Свойства числовых неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.15, страница 253.

Условие.

6.15 Известно, что $a \geq b$. Сравните, если возможно:

а) $a + 2$ и $b + 1;

б) $a + 10$ и $b - 1;

в) $3a - 1$ и $3b + 10;

г) $1 - 2a$ и $3 - 2b.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)
Чтобы сравнить выражения $a + 2$ и $b + 1$, имея условие $a \ge b$, рассмотрим их разность:
$(a + 2) - (b + 1) = a + 2 - b - 1 = (a - b) + 1$.
Поскольку по условию $a \ge b$, то разность $a - b \ge 0$.
Следовательно, выражение $(a - b) + 1 \ge 0 + 1$, то есть $(a - b) + 1 \ge 1$.
Так как разность $(a + 2) - (b + 1)$ всегда больше или равна 1 (а значит, строго больше 0), то первое выражение всегда больше второго.
Ответ: $a + 2 > b + 1$.

б)
Для сравнения выражений $a + 10$ и $b - 1$, используя условие $a \ge b$, найдем их разность:
$(a + 10) - (b - 1) = a + 10 - b + 1 = (a - b) + 11$.
Из условия $a \ge b$ следует, что $a - b \ge 0$.
Тогда $(a - b) + 11 \ge 0 + 11$, то есть $(a - b) + 11 \ge 11$.
Разность всегда положительна, значит, первое выражение всегда больше второго.
Ответ: $a + 10 > b - 1$.

в)
Рассмотрим разность выражений $3a - 1$ и $3b + 10$:
$(3a - 1) - (3b + 10) = 3a - 1 - 3b - 10 = 3a - 3b - 11 = 3(a - b) - 11$.
Мы знаем, что $a \ge b$, следовательно $a - b \ge 0$, и $3(a - b) \ge 0$.
Однако знак всего выражения $3(a - b) - 11$ зависит от величины разности $a - b$.

• Если $a - b$ достаточно мало (например, $a=2, b=1$), то $a-b=1$. Разность будет $3(1) - 11 = -8$. В этом случае $3a - 1 < 3b + 10$.
• Если $a - b$ достаточно велико (например, $a=10, b=1$), то $a-b=9$. Разность будет $3(9) - 11 = 16$. В этом случае $3a - 1 > 3b + 10$.

Поскольку результат сравнения зависит от конкретных значений $a$ и $b$ (удовлетворяющих условию $a \ge b$), однозначное сравнение невозможно.
Ответ: сравнить невозможно.

г)
Используем исходное неравенство $a \ge b$.
Умножим обе его части на -2. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$-2a \le -2b$.
Теперь рассмотрим разность заданных выражений $1 - 2a$ и $3 - 2b$:
$(1 - 2a) - (3 - 2b) = 1 - 2a - 3 + 2b = -2a + 2b - 2 = -2(a - b) - 2$.
Так как $a \ge b$, то $a - b \ge 0$.
При умножении на -2 получаем: $-2(a - b) \le 0$.
Тогда для всей разности имеем: $-2(a - b) - 2 \le 0 - 2$, то есть $-2(a - b) - 2 \le -2$.
Поскольку разность $(1 - 2a) - (3 - 2b)$ всегда отрицательна (меньше или равна -2), то первое выражение всегда меньше второго.
Ответ: $1 - 2a < 3 - 2b$.