Номер 6.13, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1. Свойства числовых неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.13, страница 253.

Условие.

6.13 Оцените площадь и периметр прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке 6.5, если известны границы длин его сторон, выраженные в сантиметрах: $3 \leqslant a \leqslant 4$, $4 \leqslant b \leqslant 5$, $5 \leqslant c \leqslant 6,5$.

Рис. 6.5

Решение 1.

Решение 4.

Для решения задачи сначала определим, какие из сторон являются катетами, а какая — гипотенузой. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Сравним данные диапазоны длин сторон, выраженных в сантиметрах:

$3 \le a \le 4$

$4 \le b \le 5$

$5 \le c \le 6,5$

Из диапазонов видно, что сторона $c$ всегда будет длиннее стороны $a$ (так как минимальное значение $c$ равно 5, а максимальное значение $a$ равно 4). Сторона $c$ также будет длиннее или равна стороне $b$. Таким образом, $c$ — это гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Это также подтверждается теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) для данных диапазонов (например, $3^2+4^2=25=5^2$, что соответствует минимальным значениям).

Оценка периметра

Периметр $P$ треугольника — это сумма длин его сторон: $P = a + b + c$. Чтобы найти границы для периметра, нужно сложить неравенства для каждой стороны.

Минимальное значение периметра получается при сложении минимальных значений длин сторон:

$P_{min} = a_{min} + b_{min} + c_{min} = 3 + 4 + 5 = 12$ см.

Максимальное значение периметра получается при сложении максимальных значений длин сторон:

$P_{max} = a_{max} + b_{max} + c_{max} = 4 + 5 + 6,5 = 15,5$ см.

Таким образом, оценка для периметра:

$12 \le P \le 15,5$

Ответ: $12 \le P \le 15,5$ см.

Оценка площади

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Используем неравенства для катетов $a$ и $b$:

$3 \le a \le 4$

$4 \le b \le 5$

Так как все значения в неравенствах положительны, мы можем их почленно перемножить, чтобы найти диапазон для произведения $ab$.

Минимальное значение произведения катетов: $a_{min} \cdot b_{min} = 3 \cdot 4 = 12$.

Максимальное значение произведения катетов: $a_{max} \cdot b_{max} = 4 \cdot 5 = 20$.

Следовательно, $12 \le ab \le 20$.

Теперь найдем границы для площади $S = \frac{1}{2}ab$, умножив все части неравенства на $\frac{1}{2}$:

$S_{min} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см².

$S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см².

Таким образом, оценка для площади:

$6 \le S \le 10$

Ответ: $6 \le S \le 10$ см².