Номер 6.11, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1. Свойства числовых неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.11, страница 253.

Условие.

6.11 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

a) если $x > 10$ и $y > 20$, то $xy > 200$; $xy > 100$; $xy > 300$;

б) если $0 < x < 2$ и $0 < y < 5$, то $xy < 10$; $xy < 12$; $xy < 9$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Даны два неравенства: $x > 10$ и $y > 20$. Поскольку обе части каждого неравенства положительны, мы можем их почленно перемножить (умножить левые части друг на друга и правые части друг на друга, сохранив знак неравенства).

$x \cdot y > 10 \cdot 20$
$xy > 200$

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений на основе полученного результата $xy > 200$:

1. Утверждение $xy > 200$: Это неравенство является прямым следствием умножения исходных неравенств. Следовательно, это утверждение верно.

2. Утверждение $xy > 100$: Если известно, что $xy$ больше 200, то оно гарантированно больше и 100. Таким образом, это утверждение также верно.

3. Утверждение $xy > 300$: Это утверждение не всегда верно. Можно подобрать такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют исходным условиям, но их произведение не будет больше 300. Например, пусть $x = 11$ (так как $11 > 10$) и $y = 21$ (так как $21 > 20$). Тогда их произведение $xy = 11 \cdot 21 = 231$. Поскольку $231 \ngtr 300$ (231 не больше 300), это утверждение неверно.

Ответ: $xy > 200$ — верно; $xy > 100$ — верно; $xy > 300$ — неверно.

б)

Даны два двойных неравенства: $0 < x < 2$ и $0 < y < 5$. Все части этих неравенств положительны, поэтому мы можем их почленно перемножить.

$0 \cdot 0 < x \cdot y < 2 \cdot 5$
$0 < xy < 10$

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений на основе полученного результата $0 < xy < 10$:

1. Утверждение $xy < 10$: Это неравенство является прямым следствием умножения исходных неравенств. Следовательно, это утверждение верно.

2. Утверждение $xy < 12$: Если известно, что $xy$ меньше 10, то оно гарантированно меньше и 12. Таким образом, это утверждение также верно.

3. Утверждение $xy < 9$: Это утверждение не всегда верно. Можно подобрать такие значения $x$ и $y$ (близкие к их верхним границам 2 и 5), для которых произведение будет больше или равно 9. Например, пусть $x = 1.9$ (условие $0 < 1.9 < 2$ выполнено) и $y = 4.9$ (условие $0 < 4.9 < 5$ выполнено). Тогда их произведение $xy = 1.9 \cdot 4.9 = 9.31$. Поскольку $9.31 \nless 9$ (9.31 не меньше 9), это утверждение неверно.

Ответ: $xy < 10$ — верно; $xy < 12$ — верно; $xy < 9$ — неверно.