Номер 6.22, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.22, страница 257.

Условие.

ОСВАИВАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (6.22-6.23) Разберите предлагаемый способ решения (см. образец) и решите неравенство.

6.22 a) $\frac{x}{6} < -2;$

б) $-\frac{x}{2} \ge 12;$

в) $\frac{x}{8} > 0;$

г) $\frac{x + 2}{4} < 1;$

д) $2 + \frac{x}{2} \le -1;$

е) $\frac{x}{3} - 1 > -5;$

ж) $\frac{1}{2}(3x - 1) > 10;$

з) $\frac{2}{3}(4x + 7) < 8;$

и) $1 - \frac{x}{8} \le 1.$

Образец.

Как и при решении уравнений, неравенства такого вида легче решить, если избавиться от дробей. Решим, например, неравенство $\frac{x}{2} + 7 \ge 6$. Умножим обе части неравенства на 2, получим $\frac{x \cdot 2}{2} + 7 \cdot 2 \ge 6 \cdot 2$; $x + 14 \ge 12$; $x \ge 12 - 14$; $x \ge -2$. Ответ. $[-2; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 4.

а)

Дано неравенство $\frac{x}{6} < -2$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$\frac{x}{6} \cdot 6 < -2 \cdot 6$

$x < -12$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до -12, не включая -12.

Ответ: $(-\infty; -12)$

б)

Дано неравенство $-\frac{x}{2} \ge 12$.

Умножим обе части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

$-\frac{x}{2} \cdot (-2) \le 12 \cdot (-2)$

$x \le -24$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до -24, включая -24.

Ответ: $(-\infty; -24]$

в)

Дано неравенство $\frac{x}{8} > 0$.

Умножим обе части неравенства на 8. Знак неравенства не меняется, так как 8 > 0.

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

$x > 0$

Решением является числовой промежуток от 0 до плюс бесконечности, не включая 0.

Ответ: $(0; +\infty)$

г)

Дано неравенство $\frac{x+2}{4} < 1$.

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби. Знак неравенства не меняется.

$(x+2) \cdot \frac{4}{4} < 1 \cdot 4$

$x + 2 < 4$

Перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком:

$x < 4 - 2$

$x < 2$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до 2, не включая 2.

Ответ: $(-\infty; 2)$

д)

Дано неравенство $2 + \frac{x}{2} \le -1$.

Сначала перенесем 2 в правую часть:

$\frac{x}{2} \le -1 - 2$

$\frac{x}{2} \le -3$

Теперь умножим обе части на 2. Знак неравенства не меняется.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \le -3 \cdot 2$

$x \le -6$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до -6, включая -6.

Ответ: $(-\infty; -6]$

е)

Дано неравенство $\frac{x}{3} - 1 > -5$.

Перенесем -1 в правую часть с противоположным знаком:

$\frac{x}{3} > -5 + 1$

$\frac{x}{3} > -4$

Умножим обе части на 3. Знак неравенства не меняется.

$\frac{x}{3} \cdot 3 > -4 \cdot 3$

$x > -12$

Решением является числовой промежуток от -12 до плюс бесконечности, не включая -12.

Ответ: $(-12; +\infty)$

ж)

Дано неравенство $\frac{1}{2}(3x - 1) > 10$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби.

$\frac{1}{2}(3x - 1) \cdot 2 > 10 \cdot 2$

$3x - 1 > 20$

Перенесем -1 в правую часть:

$3x > 20 + 1$

$3x > 21$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется.

$x > \frac{21}{3}$

$x > 7$

Решением является числовой промежуток от 7 до плюс бесконечности, не включая 7.

Ответ: $(7; +\infty)$

з)

Дано неравенство $\frac{2}{3}(4x + 7) < 8$.

Умножим обе части на $\frac{3}{2}$. Так как $\frac{3}{2}$ > 0, знак неравенства не меняется.

$\frac{2}{3}(4x + 7) \cdot \frac{3}{2} < 8 \cdot \frac{3}{2}$

$4x + 7 < 12$

Перенесем 7 в правую часть:

$4x < 12 - 7$

$4x < 5$

Разделим обе части на 4:

$x < \frac{5}{4}$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до $\frac{5}{4}$, не включая $\frac{5}{4}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{5}{4})$

и)

Дано неравенство $1 - \frac{x}{8} \le 1$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$1 - 1 - \frac{x}{8} \le 1 - 1$

$-\frac{x}{8} \le 0$

Умножим обе части на -8. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$-\frac{x}{8} \cdot (-8) \ge 0 \cdot (-8)$

$x \ge 0$

Решением является числовой промежуток от 0 до плюс бесконечности, включая 0.

Ответ: $[0; +\infty)$