Номер 6.27, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.27, страница 258.

Условие.

6.27 Приведите неравенство к виду $0x < b$ и укажите множество его решений:

a) $3x - (x - 1) < \frac{1}{3}(6x + 3)$;

б) $7(x + \frac{3}{2}) - x < 6x + 19$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Исходное неравенство: $3x - (x - 1) < \frac{1}{3}(6x + 3)$.
Для решения раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части изменим знаки у слагаемых в скобках на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус. В правой части умножим $\frac{1}{3}$ на каждый член в скобках.
$3x - x + 1 < \frac{1}{3} \cdot 6x + \frac{1}{3} \cdot 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части и выполним умножение в правой:
$2x + 1 < 2x + 1$
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.
$2x - 2x < 1 - 1$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$0x < 0$
Мы привели неравенство к виду $0x < b$, где $b=0$. Полученное неравенство $0 < 0$ является ложным при любом значении $x$, так как число 0 не может быть строго меньше самого себя. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

б) Исходное неравенство: $7(x + \frac{3}{2}) - x < 6x + 19$.
Сначала раскроем скобки в левой части, умножив 7 на каждый член в скобках:
$7x + 7 \cdot \frac{3}{2} - x < 6x + 19$
$7x + \frac{21}{2} - x < 6x + 19$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(7-1)x + \frac{21}{2} < 6x + 19$
$6x + 10.5 < 6x + 19$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$6x - 6x < 19 - 10.5$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$0x < 8.5$
Мы привели неравенство к виду $0x < b$, где $b=8.5$ (или $b=\frac{17}{2}$). Так как левая часть неравенства ($0x$) всегда равна нулю при любом значении $x$, а правая часть $8.5 > 0$, неравенство $0 < 8.5$ является верным. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: множество решений — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.