Номер 6.34, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.34, страница 259.

Условие.

6.34 При каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:

а) $ax^2 + 2x - 1 = 0;$

б) $ax^2 - 4x - 2 = 0?$

Подсказка. Не забудьте учесть, что рассматриваемое уравнение может иметь два корня только при условии, что $a \neq 0$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Уравнение $ax^2 + 2x - 1 = 0$ имеет два различных корня, когда оно является квадратным и его дискриминант строго положителен.
1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным ($2x - 1 = 0$) и имеет только один корень.
2. Дискриминант ($D$) квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. Для наличия двух различных корней должно выполняться условие $D > 0$.
В нашем случае коэффициенты равны: $A=a$, $B=2$, $C=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot (-1) = 4 + 4a$.
Теперь решим неравенство $D > 0$:
$4 + 4a > 0$
$4a > -4$
$a > -1$
Объединим оба условия: $a > -1$ и $a \neq 0$. Это означает, что подходят все значения $a$, которые больше -1, кроме нуля.
Ответ: $a \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

б) Рассмотрим уравнение $ax^2 - 4x - 2 = 0$. Условия для наличия двух различных корней те же: $a \neq 0$ и $D > 0$.
1. Условие $a \neq 0$ необходимо, чтобы уравнение было квадратным. При $a=0$ уравнение $-4x-2=0$ имеет один корень.
2. Найдем дискриминант. Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=-4$, $C=-2$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot (-2) = 16 + 8a$.
Решим неравенство $D > 0$:
$16 + 8a > 0$
$8a > -16$
$a > -2$
Совмещая это условие с требованием $a \neq 0$, получаем, что параметр $a$ должен быть больше -2, но не равен нулю.
Ответ: $a \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.