Номер 6.31, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.31, страница 259.

Условие.

6.31 а) $ \frac{x}{2} - 3 < \frac{x}{3} - 1; $

б) $ 2x + \frac{1}{4} < \frac{x}{2} + 4. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{x}{2} - 3 < \frac{x}{3} - 1$.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 3. НОК(2, 3) = 6. Поскольку мы умножаем на положительное число (6 > 0), знак неравенства не меняется.

$6 \cdot \left(\frac{x}{2} - 3\right) < 6 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right)$

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 6:

$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 3 < 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 1$

$3x - 18 < 2x - 6$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а свободные члены — в правой. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим 18 к обеим частям:

$3x - 2x < 18 - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$x < 12$

Решением неравенства является множество всех чисел, меньших 12. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 12)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$.

б) Решим неравенство $2x + \frac{1}{4} < \frac{x}{2} + 4$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 4 и 2, которое равно 4. Так как 4 > 0, знак неравенства сохраняется.

$4 \cdot \left(2x + \frac{1}{4}\right) < 4 \cdot \left(\frac{x}{2} + 4\right)$

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 4:

$4 \cdot 2x + 4 \cdot \frac{1}{4} < 4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot 4$

$8x + 1 < 2x + 16$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные — в правой. Вычтем $2x$ и 1 из обеих частей:

$8x - 2x < 16 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$6x < 15$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 6. Поскольку 6 > 0, знак неравенства не меняется.

$x < \frac{15}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x < \frac{5}{2}$

Это же неравенство можно записать в виде $x < 2.5$. Решением является интервал $(-\infty; \frac{5}{2})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{2})$.