Номер 6.33, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.33, страница 259.

Условие.

6.33 При каких значениях c уравнение не имеет корней:

a) $2x^2 - 10x + c = 0;$

б) $-3x^2 + 2x + c = 0?$

В каждом случае ответьте, имеет ли уравнение корни при c, равном $-100; -0,5; 0; 12,5; 16,3; 100.$

Решение 1.

Решение 4.

Общий принцип: квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

a)

Рассмотрим уравнение $2x^2 - 10x + c = 0$.

Здесь коэффициенты $a=2$, $b=-10$. Дискриминант этого уравнения равен:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 100 - 8c$

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

$100 - 8c < 0$

$100 < 8c$

$c > \frac{100}{8}$

$c > 12,5$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $c > 12,5$.

Теперь проверим конкретные значения $c$. Уравнение имеет корни, если $c \le 12,5$.

При $c = -100$: $-100 \le 12,5$, значит, корни есть.

При $c = -0,5$: $-0,5 \le 12,5$, значит, корни есть.

При $c = 0$: $0 \le 12,5$, значит, корни есть.

При $c = 12,5$: $12,5 = 12,5$, значит, есть один корень ($D=0$).

При $c = 16,3$: $16,3 > 12,5$, значит, корней нет.

При $c = 100$: $100 > 12,5$, значит, корней нет.

Ответ: уравнение не имеет корней при $c > 12,5$. При $c$, равном $-100; -0,5; 0; 12,5$, корни есть; при $c$, равном $16,3; 100$, корней нет.

б)

Рассмотрим уравнение $-3x^2 + 2x + c = 0$.

Здесь коэффициенты $a=-3$, $b=2$. Дискриминант этого уравнения равен:

$D = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot c = 4 + 12c$

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

$4 + 12c < 0$

$12c < -4$

$c < -\frac{4}{12}$

$c < -\frac{1}{3}$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $c < -\frac{1}{3}$.

Теперь проверим конкретные значения $c$. Уравнение имеет корни, если $c \ge -\frac{1}{3}$. ($-1/3 \approx -0,333...$)

При $c = -100$: $-100 < -\frac{1}{3}$, значит, корней нет.

При $c = -0,5$: $-0,5 < -\frac{1}{3}$, значит, корней нет.

При $c = 0$: $0 \ge -\frac{1}{3}$, значит, корни есть.

При $c = 12,5$: $12,5 \ge -\frac{1}{3}$, значит, корни есть.

При $c = 16,3$: $16,3 \ge -\frac{1}{3}$, значит, корни есть.

При $c = 100$: $100 \ge -\frac{1}{3}$, значит, корни есть.

Ответ: уравнение не имеет корней при $c < -\frac{1}{3}$. При $c$, равном $-100; -0,5$, корней нет; при $c$, равном $0; 12,5; 16,3; 100$, корни есть.