Номер 6.37, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.3. Решение систем линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.37, страница 262.

Условие.

6.37 Решите систему неравенств и ответьте на вопрос, сколько целых решений имеет эта система:

a) $\begin{cases} x - 2 > -1 \\ x + 5 < 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - 3 < 2 \\ y + 2 \ge -6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5 - z < 2 \\ 4 + z > 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 1 + y \le -3 \\ y - 2 \ge -8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x - 1 \le -1 \\ 2x - 1 \ge -6; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 9 - 2z > 11 \\ 3z - 4 < 5. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 2 > -1 \\ x + 5 < 9 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ x - 2 > -1 $
$ x > -1 + 2 $
$ x > 1 $

Решим второе неравенство:
$ x + 5 < 9 $
$ x < 9 - 5 $
$ x < 4 $

Решением системы является пересечение решений двух неравенств, то есть интервал $ (1; 4) $.
Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: 2, 3.
Таким образом, система имеет 2 целых решения.

Ответ: 2.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} y - 3 < 2 \\ y + 2 \ge -6 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ y - 3 < 2 $
$ y < 2 + 3 $
$ y < 5 $

Решим второе неравенство:
$ y + 2 \ge -6 $
$ y \ge -6 - 2 $
$ y \ge -8 $

Решением системы является полуинтервал $ [-8; 5) $.
Целые числа, которые принадлежат этому полуинтервалу: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Всего 13 целых решений.

Ответ: 13.

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 5 - z < 2 \\ 4 + z > 7 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 5 - z < 2 $
$ -z < 2 - 5 $
$ -z < -3 $
$ z > 3 $

Решим второе неравенство:
$ 4 + z > 7 $
$ z > 7 - 4 $
$ z > 3 $

Оба неравенства приводят к одному и тому же результату $ z > 3 $. Решением системы является интервал $ (3; +\infty) $.
Целые числа в этом интервале: 4, 5, 6, и так далее.
Система имеет бесконечно много целых решений.

Ответ: бесконечно много.

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 + y \le -3 \\ y - 2 \ge -8 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 1 + y \le -3 $
$ y \le -3 - 1 $
$ y \le -4 $

Решим второе неравенство:
$ y - 2 \ge -8 $
$ y \ge -8 + 2 $
$ y \ge -6 $

Решением системы является отрезок $ [-6; -4] $.
Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -6, -5, -4.
Всего 3 целых решения.

Ответ: 3.

д)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 1 \le -1 \\ 2x - 1 \ge -6 \end{cases} $

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства:
$ -6 \le 2x - 1 \le -1 $

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$ -6 + 1 \le 2x \le -1 + 1 $
$ -5 \le 2x \le 0 $

Разделим все части на 2:
$ -5/2 \le x \le 0/2 $
$ -2.5 \le x \le 0 $

Решением системы является отрезок $ [-2.5; 0] $.
Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -2, -1, 0.
Всего 3 целых решения.

Ответ: 3.

е)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 9 - 2z > 11 \\ 3z - 4 < 5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 9 - 2z > 11 $
$ -2z > 11 - 9 $
$ -2z > 2 $
$ z < -1 $

Решим второе неравенство:
$ 3z - 4 < 5 $
$ 3z < 5 + 4 $
$ 3z < 9 $
$ z < 3 $

Решением системы является пересечение условий $ z < -1 $ и $ z < 3 $, что дает $ z < -1 $. Решением является интервал $ (-\infty; -1) $.
Целые числа в этом интервале: -2, -3, -4, и так далее.
Система имеет бесконечно много целых решений.

Ответ: бесконечно много.