Номер 6.42, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.3. Решение систем линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.42, страница 263.

Условие.

6.42 a) $\begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \\ x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -7y \ge 14 \\ \frac{y}{3} > -1 \\ 3(y-1) < 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} z - 4 < 0 \\ -\frac{z}{7} > 1 \\ 3z + 1 \ge 4. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \\ x < 0 \end{cases} $$ Решением системы является пересечение множеств решений всех трех неравенств.

Первое неравенство $x > -3$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-3; +\infty)$.
Второе неравенство $x > -1$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-1; +\infty)$.
Третье неравенство $x < 0$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-\infty; 0)$.

Для нахождения решения системы необходимо найти общую часть (пересечение) этих трех интервалов. Рассмотрим первые два неравенства: $x > -3$ и $x > -1$. Если число больше $-1$, оно автоматически больше $-3$. Следовательно, пересечением этих двух условий является более сильное условие $x > -1$.

Теперь система сводится к двум неравенствам: $$ \begin{cases} x > -1 \\ x < 0 \end{cases} $$ Это означает, что искомые значения $x$ должны быть одновременно больше $-1$ и меньше $0$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

б)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} -7y \ge 14 \\ \frac{y}{3} > -1 \\ 3(y-1) < 6 \end{cases} $$ Сначала преобразуем каждое неравенство, выразив $y$.

1. Решим первое неравенство: $-7y \ge 14$.
Разделим обе части на $-7$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$y \le \frac{14}{-7}$
$y \le -2$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{y}{3} > -1$.
Умножим обе части на $3$. Знак неравенства не меняется.
$y > -1 \cdot 3$
$y > -3$.

3. Решим третье неравенство: $3(y-1) < 6$.
Разделим обе части на $3$.
$y-1 < 2$
Прибавим $1$ к обеим частям.
$y < 2+1$
$y < 3$.

Теперь решим систему, состоящую из упрощенных неравенств: $$ \begin{cases} y \le -2 \\ y > -3 \\ y < 3 \end{cases} $$ Найдем пересечение решений. Условие $y \le -2$ является более сильным, чем $y < 3$ (любое число, меньшее или равное $-2$, автоматически меньше $3$).
Поэтому система эквивалентна следующей: $$ \begin{cases} y > -3 \\ y \le -2 \end{cases} $$ Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < y \le -2$.

Ответ: $y \in (-3; -2]$.

в)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} z - 4 < 0 \\ -\frac{z}{7} > 1 \\ 3z + 1 \ge 4 \end{cases} $$ Сначала преобразуем каждое неравенство, выразив $z$.

1. Решим первое неравенство: $z - 4 < 0$.
Прибавим $4$ к обеим частям.
$z < 4$.

2. Решим второе неравенство: $-\frac{z}{7} > 1$.
Умножим обе части на $-7$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$z < 1 \cdot (-7)$
$z < -7$.

3. Решим третье неравенство: $3z + 1 \ge 4$.
Вычтем $1$ из обеих частей.
$3z \ge 3$
Разделим обе части на $3$.
$z \ge 1$.

Теперь решим систему, состоящую из упрощенных неравенств: $$ \begin{cases} z < 4 \\ z < -7 \\ z \ge 1 \end{cases} $$ Найдем пересечение решений. Условие $z < -7$ является более сильным, чем $z < 4$ (любое число, меньшее $-7$, автоматически меньше $4$).
Поэтому система эквивалентна следующей: $$ \begin{cases} z < -7 \\ z \ge 1 \end{cases} $$ Необходимо найти такие значения $z$, которые одновременно меньше $-7$ и больше либо равны $1$. Таких чисел не существует, так как эти два множества не пересекаются.

Ответ: решений нет ($z \in \emptyset$).