Номер 6.47, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.47, страница 267.

Условие.

6.47 Поставьте вместо многоточия такой знак неравенства, чтобы получившееся утверждение было верным при любых значениях переменных:

а) $x^2 + y^2 ... 0$;

б) $(x + y)^2 ... 0$;

в) $(x - y)^2 ... 0$;

г) $-(x + y)^2 ... 0;$

д) $x^2 ... 0$;

е) $-x^2 ... 0$;

ж) $x^2 + 1 ... 0$;

з) $-x^2 - 1 ... 0$;

и) $\frac{1}{x^2 + 1} ... 0$;

к) $-\frac{1}{x^2 + 1} ... 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Аналогично, $y^2 \ge 0$ при любом значении $y$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $x^2 + y^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$. Равенство нулю достигается только тогда, когда $x=0$ и $y=0$ одновременно. Таким образом, следует поставить знак $\ge$.
Ответ: $x^2 + y^2 \ge 0$

б) Выражение в скобках, $(x + y)$, может принимать любое действительное значение. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $(x + y)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$. Равенство нулю достигается, когда $x + y = 0$. Таким образом, следует поставить знак $\ge$.
Ответ: $(x + y)^2 \ge 0$

в) Аналогично предыдущему пункту, выражение $(x - y)$ может быть любым действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $(x - y)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$. Равенство нулю достигается, когда $x - y = 0$, то есть при $x = y$. Таким образом, следует поставить знак $\ge$.
Ответ: $(x - y)^2 \ge 0$

г) Из пункта б) мы знаем, что $(x + y)^2 \ge 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, то знак неравенства изменится на противоположный. В результате получим $-(x + y)^2 \le 0$. Равенство нулю достигается, когда $x + y = 0$. Таким образом, следует поставить знак $\le$.
Ответ: $-(x + y)^2 \le 0$

д) Квадрат любого действительного числа $x$ всегда больше или равен нулю. Следовательно, $x^2 \ge 0$. Равенство достигается при $x = 0$. Таким образом, следует поставить знак $\ge$.
Ответ: $x^2 \ge 0$

е) Из пункта д) мы знаем, что $x^2 \ge 0$. При умножении обеих частей этого неравенства на $-1$ знак меняется на противоположный, поэтому $-x^2 \le 0$. Равенство достигается при $x = 0$. Таким образом, следует поставить знак $\le$.
Ответ: $-x^2 \le 0$

ж) Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Если прибавить 1 к обеим частям неравенства, получим $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, что равносильно $x^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля. Равенство нулю никогда не достигается. Таким образом, следует поставить знак $>$.
Ответ: $x^2 + 1 > 0$

з) Мы знаем, что $x^2 \ge 0$. Умножив на $-1$, получаем $-x^2 \le 0$. Если теперь вычесть 1 из обеих частей, получим $-x^2 - 1 \le 0 - 1$, что равносильно $-x^2 - 1 \le -1$. Поскольку $-1 < 0$, то выражение $-x^2 - 1$ всегда строго меньше нуля. Равенство нулю никогда не достигается. Таким образом, следует поставить знак <.
Ответ: $-x^2 - 1 < 0$

и) Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2 + 1$. Как мы выяснили в пункте ж), $x^2 + 1 > 0$ для любого значения $x$. Числитель дроби равен 1, что также является положительным числом. Частное от деления положительного числа (1) на положительное число ($x^2 + 1$) всегда будет положительным. Следовательно, выражение всегда строго больше нуля. Таким образом, следует поставить знак $>$.
Ответ: $\frac{1}{x^2 + 1} > 0$

к) Из пункта и) мы знаем, что дробь $\frac{1}{x^2 + 1}$ всегда строго положительна: $\frac{1}{x^2 + 1} > 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный. В результате получим $-\frac{1}{x^2 + 1} < 0$. Выражение всегда будет строго отрицательным. Таким образом, следует поставить знак <.
Ответ: $-\frac{1}{x^2 + 1} < 0$