Номер 6.52, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.52, страница 268.

Условие.

6.52 Докажите разными способами, что:

а) если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b;

б) если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$.

Подсказка.

а) Способ 1. Сравните разность между левой и правой частями неравенства с нулём.

Способ 2. Воспользуйтесь неравенством, доказанным в примере 3.

Решение 1.

Решение 4.

a) Докажем, что если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$.

Способ 1. Сравним разность левой и правой частей неравенства с нулём, как предложено в подсказке. Рассмотрим выражение $(a^2 + a) - (b^2 + b)$. Преобразуем его, сгруппировав слагаемые и разложив на множители:

$(a^2 + a) - (b^2 + b) = a^2 - b^2 + a - b = (a - b)(a + b) + (a - b) = (a - b)(a + b + 1)$.

Проанализируем знаки множителей. По условию $a > b > 0$.

• Из $a > b$ следует, что множитель $(a - b) > 0$.
• Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что $a + b > 0$, а значит и множитель $(a + b + 1) > 1 > 0$.

Произведение двух положительных множителей положительно, поэтому $(a - b)(a + b + 1) > 0$. Отсюда следует, что $(a^2 + a) - (b^2 + b) > 0$, и, следовательно, $a^2 + a > b^2 + b$.

Способ 2. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + x$ на промежутке $(0, +\infty)$. Чтобы доказать неравенство, достаточно показать, что эта функция является строго возрастающей на данном промежутке. Найдём её производную: $f'(x) = (x^2 + x)' = 2x + 1$. Для любого $x > 0$, производная $f'(x) = 2x + 1$ положительна (так как $2x > 0$, то $2x+1 > 1$). Поскольку производная положительна на всём промежутке, функция $f(x)$ строго возрастает. Следовательно, из $a > b$ следует, что $f(a) > f(b)$, то есть $a^2 + a > b^2 + b$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем, что если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$.

Способ 1. Сравним разность левой и правой частей неравенства с нулём. Рассмотрим выражение $(ab + a) - (b + 1)$. Преобразуем его:

$(ab + a) - (b + 1) = ab + a - b - 1 = (ab - b) + (a - 1) = b(a - 1) + 1(a - 1) = (a - 1)(b + 1)$.

Проанализируем знаки множителей. По условию $a > 1$ и $b > 0$.

• Из $a > 1$ следует, что множитель $(a - 1) > 0$.
• Из $b > 0$ следует, что множитель $(b + 1) > 1 > 0$.

Произведение двух положительных множителей положительно, поэтому $(a - 1)(b + 1) > 0$. Отсюда следует, что $(ab + a) - (b + 1) > 0$, и, следовательно, $ab + a > b + 1$.

Способ 2. Выполним преобразование, исходя из данных условий. Начнём с неравенства $a > 1$. По условию $b > 0$, значит выражение $(b + 1)$ является положительным числом ($b+1 > 1$). Умножим обе части верного неравенства $a > 1$ на положительное число $(b+1)$, при этом знак неравенства сохранится:

$a(b + 1) > 1(b + 1)$

Раскрыв скобки в обеих частях, получим $ab + a > b + 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.