Номер 6.53, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.53, страница 268.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (6.53–6.54)

6.53 a) Пусть a и b — положительные числа и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

б) Пусть a и b — отрицательные числа и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

В каждом случае проиллюстрируйте полученное неравенство конкретным примером.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Нам дано, что $a$ и $b$ — положительные числа, причем $a < b$. Требуется сравнить дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $.

Рассмотрим неравенство $a < b$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), их произведение $ab$ также будет положительным ($ab > 0$).

Мы можем разделить обе части неравенства $a < b$ на положительное число $ab$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

$ \frac{a}{ab} < \frac{b}{ab} $

Сократив дроби в левой и правой частях, получим:

$ \frac{1}{b} < \frac{1}{a} $

Это неравенство можно записать как $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

Иллюстрация на конкретном примере:

Пусть $a = 2$ и $b = 5$. Оба числа положительные, и $2 < 5$.

Сравним $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $:

$ \frac{1}{a} = \frac{1}{2} = 0.5 $

$ \frac{1}{b} = \frac{1}{5} = 0.2 $

Так как $0.5 > 0.2$, то $ \frac{1}{2} > \frac{1}{5} $, что подтверждает наш вывод $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

Ответ: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

б) Нам дано, что $a$ и $b$ — отрицательные числа, причем $a < b$. Требуется сравнить дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $.

Рассмотрим неравенство $a < b$. Поскольку $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0, b < 0$), их произведение $ab$ будет положительным ($ab > 0$), так как произведение двух отрицательных чисел положительно.

Разделим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $ab$. Знак неравенства при этом не изменится:

$ \frac{a}{ab} < \frac{b}{ab} $

Сократив дроби, получим:

$ \frac{1}{b} < \frac{1}{a} $

Или, что то же самое, $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

Иллюстрация на конкретном примере:

Пусть $a = -4$ и $b = -2$. Оба числа отрицательные, и $-4 < -2$.

Сравним $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $:

$ \frac{1}{a} = \frac{1}{-4} = -0.25 $

$ \frac{1}{b} = \frac{1}{-2} = -0.5 $

Так как $-0.25$ больше, чем $-0.5$ (на числовой прямой $-0.25$ находится правее), то $ -0.25 > -0.5 $. Это подтверждает наш вывод $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

Ответ: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.