Номер 6.54, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.54, страница 268.

Условие.

6.54 Известно, что $x > 2$. Сравните с нулём:

1) $x - 2$, $2 - x$, $x - 1$, $1 - x$;

2) $x(2 - x)$, $(x - 1)(x - 2)$, $(2 - x)(x - 1)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сравним каждое из выражений $x - 2$, $2 - x$, $x - 1$, $1 - x$ с нулём, исходя из условия, что $x > 2$.

• Для выражения $x - 2$:
  Поскольку $x > 2$, мы можем вычесть 2 из обеих частей неравенства, не меняя его знака. $x - 2 > 2 - 2$
  $x - 2 > 0$
  Следовательно, выражение $x - 2$ положительно.

• Для выражения $2 - x$:
  Это выражение можно представить как $-(x - 2)$. Так как мы уже установили, что $x - 2 > 0$, то при умножении на -1 знак меняется на противоположный.
  $-(x - 2) < 0$
  $2 - x < 0$
  Следовательно, выражение $2 - x$ отрицательно.

• Для выражения $x - 1$:
  Так как $x > 2$, а $2 > 1$, то по свойству транзитивности $x > 1$. Вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем: $x - 1 > 1 - 1$
  $x - 1 > 0$
  Следовательно, выражение $x - 1$ положительно.

• Для выражения $1 - x$:
  Это выражение можно представить как $-(x - 1)$. Так как мы установили, что $x - 1 > 0$, то при умножении на -1 знак меняется на противоположный.
  $-(x - 1) < 0$
  $1 - x < 0$
  Следовательно, выражение $1 - x$ отрицательно.

Ответ: $x - 2 > 0$; $2 - x < 0$; $x - 1 > 0$; $1 - x < 0$.

2) Сравним каждое из произведений $x(2 - x)$, $(x - 1)(x - 2)$, $(2 - x)(x - 1)$ с нулём, используя знаки множителей, определённые в пункте 1).

• Для выражения $x(2 - x)$:
  Определим знаки множителей $x$ и $(2 - x)$. Из условия $x > 2$ следует, что $x$ является положительным числом ($x > 0$). Из пункта 1) мы знаем, что $2 - x < 0$ (отрицательное число). Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. $x \cdot (2 - x) < 0$
  Следовательно, выражение $x(2 - x)$ меньше нуля.

• Для выражения $(x - 1)(x - 2)$:
  Определим знаки множителей $(x - 1)$ и $(x - 2)$. Из пункта 1) мы знаем, что $x - 1 > 0$ (положительное число) и $x - 2 > 0$ (положительное число). Произведение двух положительных чисел является положительным числом. $(x - 1)(x - 2) > 0$
  Следовательно, выражение $(x - 1)(x - 2)$ больше нуля.

• Для выражения $(2 - x)(x - 1)$:
  Определим знаки множителей $(2 - x)$ и $(x - 1)$. Из пункта 1) мы знаем, что $2 - x < 0$ (отрицательное число) и $x - 1 > 0$ (положительное число). Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. $(2 - x)(x - 1) < 0$
  Следовательно, выражение $(2 - x)(x - 1)$ меньше нуля.

Ответ: $x(2 - x) < 0$; $(x - 1)(x - 2) > 0$; $(2 - x)(x - 1) < 0$.